¿Qué es exactamente la posibilidad metafísica?

Algunas notas formales para complementar la excelente respuesta de Mauro. Como era de esperar en una discusión sobre la modalidad, vamos a hablar de modelos modales al definir las cosas. La mayoría estará familiarizada con las lógicas K, S4, etc. K y su superlógica son demasiado sofisticados para una discusión de modalidades metafísicas , por lo que comenzaremos con modelos modales anteriores a Kripke, volviendo a Carnap. Empezamos con el idioma:

Definición 1. ( Lenguaje modal proposicional ) Dada una letra p proposicional, el lenguaje de la lógica modal proposicional se define mediante la siguiente gramática:

                                              φ := pag | φ′ | ¬φ | (φ ∧ φ) | □φ.

Esto significa que p con cualquier número de números primos es una fórmula, ¬φ es una fórmula si φ es una fórmula, y así sucesivamente. Para interpretar este lenguaje, definimos modelos modales carnapianos (más adelante los refinaremos; cf. Definición 6):

Definición 2. ( Modelos carnapianos ) Un modelo modal carnapiano es un singleton M = (V), donde V es un conjunto de valoraciones desde fórmulas en el lenguaje de la lógica modal proposicional hasta valores de verdad.

Con estos podemos definir qué significa que una fórmula de lenguaje modal proposicional (Definición 1) sea verdadera en un modelo Carnapiano con respecto a una valoración (~mundo):

Definición 3. ( Semántica carnapiana ) La verdad de una fórmula φ del lenguaje modal proposicional en un modelo carnapiano en una valoración v ∈ V se define por inducción sobre la complejidad de φ de la siguiente manera:

1. M, v |= p si v(p) = 1;
2. M, v |= ¬φ iff ¬(M, v |= φ);
3. M, v |= φ ∧ ψ si (M, v |= φ) y (M, v |= ψ);
4. METRO, v |= □φ si y si ∀ _{v′ ∈ METRO} : METRO, v′ |= φ.

La única cláusula a la que vale la pena prestar atención aquí es la de la caja: □φ es verdadero en un modelo carnapiano M = (V) en una valoración v ∈ V solo en el caso de que φ sea verdadero en todas las valoraciones en V, sin restricción alguna ! Debido a esta falta de restricción en la accesibilidad, los modelos carnapianos son un marco natural en el que explicar las nociones de posibilidad y necesidad metafísicas:

Definición 4. ( Necesidad metafísica □ _m ). La fórmula φ del lenguaje modal proposicional es metafísicamente necesaria (simbólicamente: □ _m φ) si es cierta en los modelos carnapianos en todas las valoraciones.

Ejemplo. Veamos si la fórmula (p ∨ ¬p) es metafísicamente necesaria. Es iff □(p ∨ ¬p) es válido con respecto a los modelos carnapianos. Recuérdese que las valoraciones son simplemente extensiones de asignaciones de verdad a las letras proposicionales que aparecen en las fórmulas. En este caso, solo tenemos una letra proposicional, a saber. 'pags'. Por lo tanto, hay dos valoraciones posibles: v ₁ = {(p, ⊤)} y v ₂ = {(p, ⊥)}, así que vamos a comprobar si (p ∨ ¬p) se cumple en ambas. Claramente lo hace: v ₁ satisface p, por lo que también se satisface toda la disyunción; y v ₂ satisface ¬p, por lo que de nuevo también se satisface toda la disyunción. Por lo tanto, sabemos que (p ∨ ¬p) es metafísicamente necesario. La posibilidad metafísica se define de manera análoga:

Definición 5. ( Posibilidad metafísica ◇ _m ). La fórmula φ del lenguaje modal proposicional es metafísicamente posible (simbólicamente: ◇ _m φ) si es cierto en los modelos carnapianos en alguna valoración.

Ejemplo. Veamos si la fórmula (p ∧ q) es metafísicamente posible. Es iff ◇(p ∧ q) es válido con respecto a los modelos carnapianos. Dado que hay dos letras proposicionales en esa fórmula, a saber. 'p', y 'q', hay 2 ² = 4 valoraciones posibles: v ₁ = {(p, ⊥), (q, ⊥)}, v ₂ = {(p, ⊥), (q, ⊤) }, v ₃ = {(pag, ⊤), (q, ⊥)}, v ₄ = {(pag, ⊤), (q, ⊤)}. Ahora bien, ◇(p ∧ q) será válida en el caso de que exista al menos una valoración entre esas cuatro st p ≡ q ≡ ⊤. ¿Existe tal valoración? Sí, v ₄ . Por tanto, sabemos que (p ∧ q) es metafísicamente posible.

Ahora bien, si queremos explicar las nociones de modalidades físicas, biológicas, epistémicas, etc., tenemos que restringir de alguna manera estos modelos carnapianos. Afortunadamente, eso ya lo hizo Kripke, quien introdujo la noción de modalidades relativas (en los modelos carnapianos, las modalidades son absolutas en el sentido de que las evaluamos con respecto a todos los modelos). El lenguaje proposicional que definimos arriba (Definición 1) ahora lo interpretaremos en modelos de Kripke con la esperanza de definir modalidades no metafísicas.

Definición 6. ( Modelos de Kripke ) Un kripke o modelo modal relacional es un triple M = (W, R, V), donde W es un conjunto de mundos posibles, R es una relación de accesibilidad binaria sobre W y V es una valoración de fórmulas en el lenguaje modal proposicional y mundos en W a valores de verdad.

Con estos podemos definir qué significa que una fórmula φ de lenguaje modal proposicional sea verdadera en un modelo de Kripke con respecto a un mundo de evaluación:

Definición 7. ( Semántica de Kripke ) La verdad de una fórmula φ del lenguaje modal proposicional en un modelo de Kripke M = (W, R, V) en un mundo w ∈ W se define por inducción sobre la complejidad de φ como sigue:

1. M, w |= p si y solo si V(p, w) = 1;
2. M, w |= ¬φ iff ¬(M, w |= φ);
3. M, w |= φ ∧ ψ si y si (M, w |= φ) y (M, w |= ψ);
4. METRO, w |= □φ si y si ∀ _{w′ ∈ W} : wRw′ → METRO, w′ |= φ.

Esta última, cuarta cláusula, es la distinción crucial entre las lógicas modales pre-Kripke y post-Kripke: una fórmula es necesaria si es verdadera en todos los mundos accesibles/relacionados con w, no en todos los mundos en absoluto. Es esta noción de accesibilidad relativa la que podemos explotar para definir nociones no metafísicas de posibilidad y necesidad. Para mantenernos enfocados, definamos la noción de necesidad/posibilidad física, siguiendo la definición de Mauro. Supongamos que se da un conjunto L(w) de leyes físicas para cualquier mundo dado w. Definimos la noción de accesibilidad física R _p de la siguiente manera:

Definición 8. ( Accesibilidad física R _p ) El mundo v es físicamente accesible desde el mundo w (simbólicamente: wR _p v) con respecto al espacio de las leyes físicas si y si L(w) y L(v) son consistentes.

Ejemplo. Sea w nuestro mundo y L(w) nuestras leyes de la física. Un posible mundo arbitrario v es físicamente accesible desde nuestro mundo (wR _p v) en caso de que las leyes de la física L(v) en v no violen ninguna de nuestras L(w).

Con esta noción de accesibilidad física podemos definir la necesidad física de la siguiente manera:

Definición 9. ( Necesidad física □ _p ) La fórmula φ del lenguaje modal proposicional es físicamente necesaria (simbólicamente: □ _p φ) en un mundo w en un modelo de Kripke M si y solo si es verdadera en todos los mundos físicamente accesibles , es decir, para todo v ∈ M st wR _p v, M, v |= p.

De manera análoga podemos definir la noción de posibilidad física:

Definición 10. ( Posibilidad física ◇ _p ) La fórmula φ del lenguaje modal proposicional es físicamente posible (simbólicamente: ◇ _p φ) en un mundo w en un modelo de Kripke M si y solo si es cierta en algún mundo físicamente accesible , es decir, para algún v ∈ M st wR _p v, M, v |= p.

Se puede hacer una explicación similar para las otras modalidades no metafísicas. Todo lo que debe agregarse es una definición adecuada de accesibilidad (por ejemplo, epistémica, doxástica, etc.).

Debo mencionar que no tuvimos que entrar en los modelos de Kripke para explicar modalidades no metafísicas; podríamos haber añadido restricciones a los modelos carnapianos directamente usando valoraciones. De manera similar, podríamos obtener (algo extremadamente cercano a) modelos carnapianos considerando modelos de Kripke con Rs que son relaciones de equivalencia (correspondientes a S5); porque para tales modelos, dado que todos los mundos son accesibles desde todos los mundos, la noción de accesibilidad se vuelve inútil. Así que considero como mi preferencia personal usar los modelos de Carnap para la necesidad metafísica (a diferencia de algo como S5) y los modelos de Kripke para los no metafísicos.

Espero que esto ayude. Sugerencias/correcciones son bienvenidas, como siempre.

Ver entrada de la SEP sobre La Epistemología de la Modalidad :

Φ es metafísicamente posible si y solo si Φ es verdadero en algún mundo metafísicamente posible. Ejemplo : Es metafísicamente posible que alguna partícula física se mueva más rápido que la velocidad de la luz.

Comparar con :

Φ es físicamente posible con respecto a las leyes físicas L si y solo si Φ es lógicamente consistente con L. Ejemplo : Dadas las leyes reales de la física, es físicamente posible que un tren viaje a 150 mph.