¿Qué es el conmutador de un operador y su derivada?

La derivada de un operador: Sea$X(t),\;\mathbb{R}\rightarrow \mathcal{X}$, dónde$\mathcal{X}$es algún espacio lineal normado, digamos un espacio de Banach o de Hilbert. Entonces podemos definir la derivada de la forma habitual:

$$\partial _{t}X(t)=\lim_{\delta \rightarrow 0}\frac{X(t+\delta )-X(t)}{\delta}.$$ Sin embargo, en $\mathcal{X}$existen diferentes topologías, fuerte, débil, uniforme, etc. Hille y Phillips, "Functional Analysis and Semi-Groups" contiene una discusión bastante amena sobre estos asuntos.

En general, el conmutador no desaparece. Considerar

$$X\left(\xi\right)=U\cos\xi+V\sin\xi\Rightarrow\dfrac{dX}{d\xi}=-U\sin\xi+V\cos\xi$$ luego se obtiene, después de algunas álgebras

$$\left[X\left(\xi\right),\dfrac{dX}{d\xi}\right]=\left[U,V\right]$$

Entonces está claro que se recupera el resultado habitual para conmutar$U$y$V$operadores.

Editar: ¡el resultado es correcto! Gracias a los comentarios.

Vine aquí antes de hacerme la misma pregunta y, como lo descubrí, me gustaría responder solo para que conste.

Respetando la respuesta anterior , con conmutadores simples y habituales (por ejemplo, vea esta pregunta ) en la imagen de Schrödinger con localidad y causalidad, si$X(\xi)=\sum_i\left(\alpha_i(\xi){U}+b_i(\xi){V}\right)$, la condición$[X(\xi),X(\xi^\prime)]=0$(que proviene de la definición del conmutador habitual) implica$[U,V]=0$(sí, explícitamente obtendrá algo distinto de cero, pero esto debe equipararse al cero que proviene de la definición del conmutador del operador consigo mismo) y, por lo tanto, también$[\partial_\xi{X}(\xi),X(\xi^\prime)]=0$.

Ahora , en general para cualquier campo$\phi$en el cuadro de Heisenberg,

$$[\partial_i\phi(x),\phi(y)]=\partial_i[\phi(x),\phi(y)]+[\partial_i,\phi(y)]\phi(x)\tag{1}$$ dónde $x$y $y$son 4-vectores y $i$representa $x^i$derivadas en los componentes espaciales $i=1,2,3$. Ahora, $[\partial_i,\phi(y)]\phi(x)=0$como todas las derivadas están en $x^i$, y por lo tanto, simplemente $$[\partial_i\phi(x),\phi(y)]=\partial_i[\phi(x),\phi(y)]=0\tag{2}$$ como $[\phi(x),\phi(y)]=0$para separación espacial y particularmente para tiempos iguales $x^0=y^0$, que, por lo que he visto, generalmente se asumen en la imagen de Heisenberg a menos que se diga lo contrario. Como comentó el usuario Pisanty en la respuesta anterior, al menos en la imagen de Schrödinger, los escalares siempre conmutan consigo mismos y con sus derivados. El caso de la componente temporal es diferente según la separación del espacio-tiempo; si quieres calcular $[\dot\phi,\phi]$directamente (en tiempos iguales) Supongo que deberías conocer la descomposición de Fourier de $\dot\phi$o calcular $\dot\phi=i[H,\phi]$usando el hamiltoniano $H$, al menos se obtiene de $[\partial_0,\phi(y)]\phi(x)$eso $[\dot\phi(x),\phi(y)]$debe ser una función de operador par en el espacio.

Y así , si sabes que$[A(x),B(y)]=C(x,y)$, entonces$[\partial_xA(x),B(y)]=\partial_xC(x,y)$.

Permítanme ejemplificar esto con las ecuaciones de movimiento de la teoría escalar real (debería poder extenderla para su escalar complejo):

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2\,\Longrightarrow\,H=\frac{1}{2}\int{d^3x}\left(\pi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\right)\tag{3}$$ entonces obtienes $$\begin{align}\dot\phi(x)=i[H,\phi(x)]&=\frac{i}{2}\int{d^3y}[\pi^2(y)+(\nabla\phi)^2(y)+m^2\phi^2(y),\phi(x)]\\&=\frac{i}{2}\int{d^3y}[\pi^2(y),\phi(x)]=\pi(x)\tag{4}\end{align}$$ donde usé $[(\nabla\phi)^2(y),\phi(x)]=0$por las razones anteriores. Desde aquí también obtienes en particular para esta teoría. $[\dot\phi,\phi]=[\pi,\phi]=-i\delta(\vec{x}-\vec{y})$. Y para $\pi$, $$\begin{align}\dot\pi(x)=i[H,\pi(x)]&=\frac{i}{2}\int{d^3y}[\pi^2(y)+(\nabla\phi)^2(y)+m^2\phi^2(y),\pi(x)]\\&=\frac{i}{2}\int{d^3y}[(\nabla\phi)^2(y)+m^2\phi^2(y),\pi(x)]\tag{5}\end{align}$$ de donde, usando las declaraciones anteriores, $$\begin{align}\int{d^3y}[(\nabla\phi)^2(y),\pi(x)]&=\int{d^3y}\left(\nabla\phi\cdot[\nabla\phi,\pi]+[\nabla\phi,\pi]\cdot\nabla\phi\right)\\ &=2\int{d^3y}(\nabla\phi\cdot\nabla[\phi,\pi])\\ &=2i\int{d^3y}\left(\nabla\phi\cdot\nabla\delta(\vec{x}-\vec{y})\right)\\ &=2i\nabla\phi\cdot\vec\delta(\vec{x}-\vec{y})\bigg|_{\pm\infty}-2i\int{d^3y}\nabla^2\phi\,\delta(\vec{x}-\vec{y})\\ &=-2i\nabla^2\phi(x)\tag{6}\end{align}$$ donde usé la conmutación del producto escalar euclidiano y la antigua integración por partes, también dejé de escribir la dependencia variable pero solo recuerda que $\nabla$actúa sobre $y$es solamente. Entonces de esta manera uno obtiene $\dot\pi=\nabla^2\phi-m^2\phi^2$que usando $(4)$da la ecuación de Klein-Gordon para $\phi$como se esperaba.