¿Cómo reemplazar el producto TTT con conmutador retardado en la fórmula LSZ?

Question

¿Cómo reemplazar el producto TTT con conmutador retardado en la fórmula LSZ?

Física
operadores
conmutador
dispersión
teoría de la matriz s
teoría cuántica de campos

Punto cuántico

Estoy leyendo el libro Teoría cuántica de campos de Itzykson y Zuber, y no puedo entender un paso que se da en la página 246:

Aquí, consideran la dispersión elástica de partículas $A$ fuera de partícula $B$ :

A (q_{1}) + B ({pag}_{1}) \to A (q_{2}) + B ({pag}_{2})

$A(q_1) + B(p_1) ~\rightarrow~ A(q_2) + B(p_2)$

y procede a escribir el $S$ -elemento de matriz usando la fórmula LSZ, con el $A$ partículas reducidas:

\begin{matrix} (5-169) & S_{F i} = - \int d^{4} X d^{4} y {mi}^{i (q_{2} . y - q_{1} . X)} (◻_{y} + {metro}_{a}^{2}) (◻_{X} + {metro}_{a}^{2}) ⟨ {pag}_{2} | T φ^{†} (y) φ (X) | {pag}_{1} ⟩ \end{matrix}

$S_{fi}=-\int d^4x\, d^4y e^{i(q_2.y-q_1.x)}(\square_y+m_a^2)(\square_x+m_a^2)\langle p_2|T \varphi^\dagger(y) \varphi(x)|p_1 \rangle \tag{5-169}$

Entonces dicen que porque $q_1$ y $q_2$ están en el cono de luz delantero, el producto ordenado por tiempo puede ser reemplazado por un conmutador retardado:

T φ^{†} (y) φ (X) \to θ (y^{0} - X^{0}) [φ^{†} (y), φ (X)] .

$T \varphi^\dagger(y) \varphi(x) ~\rightarrow~ \theta(y^0-x^0)[\varphi^\dagger(y),\,\varphi(x)]\,.$

Esta justificación para este reemplazo se me escapa por completo. ¿Cuál es la razón matemática de esto?

Respuestas (2)

¿Cómo reemplazar el producto TTT con conmutador retardado en la fórmula LSZ?

qmecanico · Answer 1

I) Antes de comenzar, recordemos brevemente ciertos aspectos del formalismo de la Ref. 1. La convención de signos de Minkowski es $(+,-,-,-)$ . La medida del espacio de cantidad de movimiento para una partícula. $A$ es

\tilde{d k} := \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k, A}} = \frac{d^{4} k}{(2 π)^{3}} d (k^{2} - {metro}_{A}^{2}) θ (k^{0}),

$\widetilde{dk}~:=~ \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{k,A}} ~=~ \frac{d^4k}{(2\pi)^3} \delta(k^2-m^2_A)\theta(k^0),$

\begin{matrix} (3-35) & ω_{k, A} := \sqrt{k^{2} + {metro}_{A}^{2}} > 0 . \end{matrix}

$\omega_{k,A}~:=~\sqrt{{\bf k}^2+m^2_A}~>0~. \tag{3-35}$

Tenga en cuenta en particular que solo integramos sobre no negativo $k^0\geq 0$ en el espacio de momento. En este punto, recordemos la declaración debajo de la ec. (5-169) que los momentos de entrada y salida $q_i$ de partícula $A$ está en el cono de luz delantero $q^0_i\geq |{\bf q}_i|$ para $i=1,2$ .

Para calentar considere un campo escalar complejo libre $\varphi_A$ y su campo conjugado complejo $\varphi_A^{\dagger}$ para la partícula $A$ . Tienen expansiones de Fourier.

\begin{matrix} (3-78a) & φ_{A} (X) = \int \tilde{d k} [a_{A} (k) {mi}^{- i k \cdot X} + b_{A}^{†} (k) {mi}^{i k \cdot X}], \end{matrix}

$\varphi_A(x)~=~\int\! \widetilde{dk} \left[ a_A(k)e^{-ik\cdot x} + b_A^{\dagger}(k)e^{ik\cdot x}\right], \tag{3-78a}$

\begin{matrix} (3-78b) & φ_{A}^{†} (y) = \int \tilde{d ℓ} [b_{A} (ℓ) {mi}^{- i ℓ \cdot y} + a_{A}^{†} (ℓ) {mi}^{i ℓ \cdot y}] . \end{matrix}

$\varphi_A^{\dagger}(y)~=~\int\! \widetilde{d\ell} \left[ b_A(\ell)e^{-i\ell\cdot y} + a_A^{\dagger}(\ell)e^{i\ell\cdot y}\right]. \tag{3-78b}$

Se sigue de las ecs. (3-78) que

\begin{matrix} (B1) & \int_{{X^{0}}} d^{3} X {mi}^{- i q_{1} \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}^{X}} φ_{A} (X) \overset{q_{1}^{0} \geq | q_{1} |}{=} i b_{A}^{†} (q_{1}), \end{matrix}

$\int_{\{x^0\}} \!d^3x~e^{-iq_1\cdot x}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial^x_0} \varphi_A(x) ~\stackrel{q^0_1\geq |{\bf q}_1|}{=}~ib_A^{\dagger}(q_1),\tag{B1}$

\begin{matrix} (B2) & \int_{{y^{0}}} d^{3} y {mi}^{i q_{2} \cdot y} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}^{y}} φ_{A}^{†} (y) \overset{q_{2}^{0} \geq | q_{2} |}{=} - i b_{A} (q_{2}), \end{matrix}

$\int_{\{y^0\}} \!d^3y~e^{iq_2\cdot y}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial^y_0} \varphi_A^{\dagger}(y) ~\stackrel{q^0_2\geq |{\bf q}_2|}{=}~-ib_A(q_2),\tag{B2}$ cf. ec. (5-30). Los operadores de creación y aniquilación son independientes del tiempo.

Ahora, en cambio, estamos interesados en un campo escalar complejo que interactúa . En este caso, definimos operadores asintóticos de aniquilación y creación (dependientes del tiempo) a través de las ecuaciones. (B1) y (B2). Para conocer la filosofía general del formalismo LSZ , consulte también esta y esta publicación relacionada con Phys.SE.

II) Volvamos ahora a la pregunta de OP. La diferencia entre el $T$ -producto pedido y el conmutador retardado es

\begin{matrix} (D) & T φ_{A}^{†} (y) φ_{A} (X) - θ (y^{0} - X^{0}) [φ_{A}^{†} (y), φ_{A} (X)] \overset{(3 - 87)}{=} φ_{A} (X) φ_{A}^{†} (y) . \end{matrix}

$T \varphi_A^{\dagger}(y)\varphi_A(x)~-~ \theta(y^0-x^0)[\varphi_A^{\dagger}(y),\varphi_A(x)] ~\stackrel{(3\text{-}87)}{=}~\varphi_A(x)\varphi_A^{\dagger}(y).\tag{D}$

Entonces, el ejercicio de OP es mostrar que (menos) las integrales en la derecha. de la ec. (5-169) desaparecen si reemplazamos el $T$ -Producto pedido con la diferencia (D). Calculamos:

\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} \int d^{4} X d^{4} y & {mi}^{i (q_{2} \cdot y - q_{1} \cdot X)} (◻_{X} + {metro}_{A}^{2}) (◻_{y} + {metro}_{A}^{2}) ⟨ {pag}_{2}, afuera | \underset{diferencia}{\underset{⏟}{φ_{A} (X) φ_{A}^{†} (y)}} | {pag}_{1}, en ⟩ \\ \overset{\begin{matrix} int. espacial \\ por partes \end{matrix}}{=} & \int d^{4} X d^{4} y {mi}^{i (q_{2} \cdot y - q_{1} \cdot X)} ((\partial_{0}^{X})^{2} + (q_{1}^{0})^{2}) ((\partial_{0}^{y})^{2} + (q_{2}^{0})^{2}) \\ \times ⟨ {pag}_{2}, afuera | φ_{A} (X) φ_{A}^{†} (y) | {pag}_{1}, en ⟩ \\ \overset{pag. 206}{=} & \int d^{4} X d^{4} y \partial_{0}^{X} \partial_{0}^{y} ⟨ {pag}_{2}, afuera | ({mi}^{- i q_{1} \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}^{X}} φ_{A} (X)) ({mi}^{i q_{2} \cdot y} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}^{y}} φ_{A}^{†} (y)) | {pag}_{1}, en ⟩ \\ = & [[⟨ {pag}_{2}, afuera | (\int d^{3} X {mi}^{- i q_{1} \cdot X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}^{X}} φ_{A} (X)) \\ {{\times (\int d^{3} y {mi}^{i q_{2} \cdot y} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}^{y}} φ_{A}^{†} (y)) | {pag}_{1}, en ⟩]}_{X^{0} = - \infty}^{X^{0} = \infty}]}_{y^{0} = - \infty}^{y^{0} = \infty} \\ \overset{(B)}{=} & {[{[⟨ {pag}_{2}, afuera | b_{A}^{†} (q_{1}) b_{A} (q_{2}) | {pag}_{1}, en ⟩]}_{X^{0} = - \infty}^{X^{0} = \infty}]}_{y^{0} = - \infty}^{y^{0} = \infty} \\ = & Z ⟨ {pag}_{2}, afuera | (b_{afuera, A}^{†} (q_{1}) b_{afuera, A} (q_{2}) + b_{en, A}^{†} (q_{1}) b_{en, A} (q_{2}) \\ - b_{afuera, A}^{†} (q_{1}) b_{en, A} (q_{2}) - b_{en, A}^{†} (q_{1}) b_{afuera, A} (q_{2})) | {pag}_{1}, en ⟩ \\ = & - Z ⟨ {pag}_{2}, afuera | b_{en, A}^{†} (q_{1}) b_{afuera, A} (q_{2}) | {pag}_{1}, en ⟩ \overset{pag. 204}{=} 0, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\int \!d^4x~ d^4y~ & e^{i(q_2\cdot y-q_1\cdot x)} (\square_x+m_A^2)(\square_y+m_A^2) \langle p_2,\text{out}|\underbrace{ \varphi_A(x) \varphi_A^{\dagger}(y)}_{\text{difference}} |p_1 ,\text{in}\rangle \cr ~\stackrel{\begin{matrix}\text{Spatial int.}\\ \text{by parts}\end{matrix}}{=}&~\int \!d^4x~ d^4y~ e^{i(q_2\cdot y-q_1\cdot x)} ((\partial^x_0)^2 + (q^0_1)^2)((\partial^y_0)^2 + (q^0_2)^2) \cr &\times~\langle p_2,\text{out}| \varphi_A(x) \varphi_A^{\dagger}(y) |p_1,\text{in} \rangle \cr ~\stackrel{\text{p. 206}}{=}&~\int \!d^4x~d^4y~ \partial^x_0\partial^y_0\langle p_2,\text{out}|\left( e^{-iq_1\cdot x}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial^x_0} \varphi_A(x)\right) \left(e^{iq_2\cdot y}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial^y_0} \varphi_A^{\dagger}(y)\right)|p_1 ,\text{in}\rangle \cr ~=~&\left[\left[\langle p_2,\text{out}| \left( \int \!d^3x~e^{-iq_1\cdot x}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial^x_0} \varphi_A(x)\right) \right.\right. \cr &\left.\left. \times~\left(\int \!d^3y~e^{iq_2\cdot y}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial^y_0} \varphi_A^{\dagger}(y) \right) |p_1 ,\text{in}\rangle\right]_{x^0=-\infty}^{x^0=\infty}\right]_{y^0=-\infty}^{y^0=\infty} \cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\left[\left[\langle p_2,\text{out}|b_A^{\dagger}(q_1)b_A(q_2) |p_1,\text{in} \rangle\right]_{x^0=-\infty}^{x^0=\infty}\right]_{y^0=-\infty}^{y^0=\infty} \cr ~=~&Z\langle p_2,\text{out}| \left(b_{\text{out},A}^{\dagger}(q_1)b_{\text{out},A}(q_2) +b_{\text{in},A}^{\dagger}(q_1)b_{\text{in},A}(q_2) \right. \cr &\left. -b_{\text{out},A}^{\dagger}(q_1)b_{\text{in},A}(q_2) -b_{\text{in},A}^{\dagger}(q_1)b_{\text{out},A}(q_2) \right)|p_1 ,\text{in}\rangle \cr ~=~&-Z\langle p_2,\text{out}|b_{\text{in},A}^{\dagger}(q_1)b_{\text{out},A}(q_2) |p_1,\text{in} \rangle~\stackrel{\text{p. 204}}{=}~0 ,\end{align} \tag{C}$

donde la última igualdad en la ec. (C) se deriva de un argumento similar al párrafo en Ref. 1 por encima de la ec. (5-21): Los estados de partículas bien separados de diferentes especies son estables, por lo que se pueden identificar sus estados de entrada y salida.

Referencias:

C. Itzykson y J.-B. Zuber, QFT, 1985.

sémola · Answer 2

Obtienes esto por el teorema de Wick , que se puede establecer como

T {ϕ_{1} ϕ_{2} . . . ϕ_{norte}} = norte {ϕ_{1} ϕ_{2} . . . ϕ_{norte} + \sum todas las posibles contracciones de ϕ_{1} ϕ_{2} . . . ϕ_{norte}}

$T\{\phi_1\phi_2...\phi_n\}=N\{\phi_1\phi_2...\phi_n+\sum\text{all possible contractions of }\phi_1\phi_2...\phi_n\}$ donde N es el operador de orden normal que coloca todos los campos marcados con dagas a la izquierda (por ejemplo

N {ϕ ϕ^{†} ϕ ϕ ϕ^{†}} = ϕ^{†} ϕ^{†} ϕ ϕ ϕ

$N\{\phi\phi^\dagger\phi\phi\phi^\dagger\}=\phi^\dagger\phi^\dagger\phi\phi\phi$ ); la contracción se define a continuación.

En tu caso concreto

T {ϕ^{†} (y) ϕ (X)} = norte {ϕ^{†} (y) ϕ (X) + C o norte t r a C t i o norte {ϕ^{†} (y), ϕ (X)}}

$T\{\phi^\dagger(y)\phi(x)\}=N\{\phi^\dagger(y)\phi(x)+contraction\{\phi^\dagger(y),\phi(x)\}\}$

y la contracción se define como sigue

si $x^0>y^0$

C o norte t r a C t i o norte {ϕ (X), ϕ (y)} = [ϕ (X)^{+}, ϕ (y)^{-}]

$contraction\{\phi(x),\phi(y)\}=[\phi(x)^+,\phi(y)^-]$ si

x^{0} < y^{0}

$x^0<y^0$

C o norte t r a C t i o norte {ϕ (X), ϕ (y)} = [ϕ (y)^{+}, ϕ (X)^{-}]

$contraction\{\phi(x),\phi(y)\}=[\phi(y)^+,\phi(x)^-]$ dónde

ϕ^{+}

$\phi^+$ y

ϕ^{-}

$\phi^-$ son las partes de frecuencia positiva y negativa de

ϕ

$\phi$ de modo que

ϕ = ϕ^{+} + ϕ^{-}

$\phi=\phi^++\phi^-$ , (

ϕ^{+} = {ϕ^{-}}^{†}

$\phi^+={\phi^-}^\dagger$ ); la definición de contracción se puede reescribir en resumen como

θ (y^{0} - X^{0}) [ϕ (y)^{+}, ϕ (X)^{-}] + θ (X^{0} - y^{0}) [ϕ (X)^{+}, ϕ (y)^{-}]

$\theta(y^0-x^0)[\phi(y)^+,\phi(x)^-]+\theta(x^0-y^0)[\phi(x)^+,\phi(y)^-]$ de hecho tenga en cuenta que

θ (y^{0} - x^{0}) = 0

$\theta(y^0-x^0)=0$ si

y^{0} < x^{0}

$y^0<x^0$ y

θ (x^{0} - y^{0}) = 0

$\theta(x^0-y^0)=0$ si

y^{0} > x^{0}

$y^0>x^0$ .

en tu caso tienes $x^0<y^0$ , por lo que solo queda el primer término. El primer término ordenado normal ya no está presente porque da un valor esperado de cero. Por lo tanto

⟨ 0 | T {ϕ^{†} (y) ϕ (X)} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | θ (y^{0} - X^{0}) [ϕ^{†} (y), ϕ (X)] | 0 ⟩

$\langle 0|T \{\phi^\dagger(y) \phi(x)\} |0\rangle=\langle 0|\theta(y^0-x^0)[\phi^\dagger(y),\,\phi(x)]\,|0\rangle$

Puede demostrar fácilmente que la contracción de dos campos en realidad está dada por el propagador de Feynman.

Para demostrar que el teorema de Wick se cumple para un número dado de campos es solo una cuestión de escribir explícitamente el producto ordenado por tiempo.

Se puede encontrar una explicación clara del teorema de Wick en cualquier libro de QFT (consulte Introducción a la teoría cuántica de campos de Peskin , página 88; su caso particular es la ecuación 4.37)

Esto no puede estar bien. En primer lugar, no entiendo por qué dices que en mi caso tengo $x^0 < y^0$ . Este orden no fue elegido simplemente por capricho; de alguna manera se arregla por el hecho de que $q_1$ y $q_2$ están en el cono de luz delantero, pero la razón se me escapa. En segundo lugar, los campos que aparecen en la fórmula de reducción eq 5-169 anterior son campos completos de imagen de Heisenberg. Tengo un problema con su uso del teorema de Wick en el sentido de que solo se aplican a los campos de imágenes de interacción (donde evolucionan de acuerdo con la parte libre del hamiltoniano), y es aplicable exclusivamente a la teoría de perturbaciones.
En realidad, nunca leí a Itzykson y en realidad no miré tu problema en específico, pero esta sustitución es algo que se hace todo el tiempo (casi sin pensar). Sin embargo, puede tener razón cuando dice que esto se hace en la imagen de interacción: ahora me dio una pequeña duda, pero aún así diría que Wick's se puede aplicar en cualquier imagen (¿podría decirme por qué dice/piensa que no puede ?). Realmente no veo cuál es el problema cuando dices 'es aplicable exclusivamente en la teoría de la perturbación'... además, la expresión anterior es verdadera en cualquier orden, no es una expansión perturbativa.
por lo que concierne a mi afirmación "en tu caso tienes $x^0<y^0$ "Solo asumí que debido al resultado que obtuviste. Para ser justos, no entiendo la oración" $q_1$ y $q_2$ están en el cono de luz delantero": quiero decir, ¿qué tipo de información relevante me está dando esto? ¿No puedes inferir de algún otro lugar que $x^0<y^0$ ?
¡Oh, por supuesto que puedes! $A(q_2)$ es un producto y por lo tanto existe en el tiempo después $A(q_1)$ ; el momento $q_2$ está asociado con la variable espacio-tiempo $y$ mientras $q_1$ con $x$ . Por lo tanto $y^0>x^0$ .
De hecho, estoy bastante seguro de que Wick se aplica a su problema y, en general, independientemente de la imagen que se considere. el tipo $<0|\phi^\dagger...\phi|0>$ es cero porque $\phi$ aniquila el vacío. Entonces $<0|\phi^\dagger=0=\phi|0>$ . Y esto es cierto en cualquier imagen.
Sé que wikipedia puede no brindarle mucha comodidad como referencia, pero allí presentan el propagador retardado (con la misma expresión que tiene arriba) y no hay suposiciones sobre la imagen utilizada.

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