Relaciones de conmutación en segunda cuantización

Sé que para los operadores$a(\chi_1), a(\chi_2)$del mismo tipo (fermiónico o bosónico)

$$[a(\chi_1), a(\chi_2)]_{-\xi} = [a^\dagger (\chi_1), a^\dagger (\chi_2)]_{-\xi} = 0 \tag{1}$$

dónde

$$\xi = \begin{cases} +1 &\text{for bosons} \\ -1 &\text{for fermions} \end{cases} \tag{2}$$

y$[.]_{-1}$es conmutador y$[.]_{+1}$es anticonmutador. También sé cómo actúan esos operadores en estados arbitrarios de Fock:

$$a^\dagger (\chi) | \phi_1, \dots, \phi_N \rangle = | \chi, \phi_1, \dots, \phi_N \rangle \tag{3}$$

$$a (\chi) | \phi_1, \dots, \phi_N \rangle = \sum_j \xi^{j-1} \langle \chi | \phi_j \rangle | \phi_1, \dots, \hat{\phi}_j, \dots, \phi_N \rangle \tag{4}$$

dónde$\hat{\psi_k}$denota la ausencia de una función de onda particular.

¿Cómo derivo la relación?

$$[a (\chi_1), a^\dagger (\chi_2)]_{-\xi} = a (\chi_1) a^\dagger (\chi_2) - \xi\, a^\dagger (\chi_2) a (\chi_1) = \langle \chi_1 | \chi_2 \rangle \tag{5} ?$$

PD: estoy siguiendo estas notas (sección 1.5) y no puedo entender lo que significa esta publicación de phys.SE.

Editar (28.07) : decir$|\Psi \rangle = | \phi_1, \dots, \phi_N \rangle$. Lo intenté

$$a (\chi_1) a^\dagger (\chi_2) |\Psi \rangle = \sum_k \xi^{k} \langle \chi_2 | \phi_j \rangle | \chi_1, \phi_1, \dots, \hat{\phi}_j, \dots, \phi_N \rangle + \langle \chi_1 | \chi_2 \rangle |\Psi \rangle$$

$$- \xi\, a^\dagger (\chi_2) a (\chi_1) |\Psi \rangle = - \sum_k \xi^{k} \langle \chi_1 | \phi_j \rangle | \chi_2, \phi_1, \dots, \hat{\phi}_j, \dots, \phi_N \rangle$$

Al agregar las dos líneas anteriores, debería obtener el resultado deseado. Parece que las sumas deberían cancelarse, pero no puedo entender por qué.