¿Se sigue la microcausalidad de la invariancia de Lorentz?

En una teoría invariante de Lorentz, ¿ la microcausalidad se cumple automáticamente? En una teoría libre esto es obvio. En una teoría interactiva encontré algunas 'pruebas' en este documento: http://arxiv.org/abs/0709.1483

Sin embargo, las pruebas muestran que para espacios separados X y y

⟨ 0 | [ ϕ ^ ( X ) , ϕ ^ ( y ) ] | 0 ⟩ = 0.

Pero para que la condición de microcausalidad se mantenga a nivel de operador, debemos demostrar que

⟨ norte | [ ϕ ^ ( X ) , ϕ ^ ( y ) ] | norte ⟩ = 0 ∀ norte

dónde | norte ⟩ forma una base. Mi pregunta es, ¿se puede mostrar esto? ¿O se necesitan más suposiciones?

Respuestas (2)

Si todo truncado norte Las funciones de punto se anulan para norte > 2 (es decir, estamos tratando con el llamado campo libre generalizado ), la microcausalidad para los valores esperados de vacío y en el nivel del operador son equivalentes. El primero, a su vez, se deriva de la invariancia de Lorentz solo en el caso de campos escalares (pero no necesariamente libres), como lo muestra Pierre-Denis Methée, quien fue alumno de de Rham ( Sur les Distributions Invariantes dans le Groupe de Rotations de Lorentz , Commentarii Mathematici Helvetici 28 (1954) 225-269). Si el campo está interactuando, este ya no es el caso y entonces, de hecho, la microcausalidad no se sigue solo de la invariancia de Lorentz, incluso si la definición positiva de la norte -las funciones puntuales y la condición del espectro de energía-momento también se cumplen. Editar (15 de junio de 2022): como señaló Nanashi No Gombe en los comentarios a continuación, un ejemplo de esto lo proporcionan los modelos de campo paraestadísticos , que no necesitan comprometerse con la noción de microcausalidad de Bose/Fermi pero que, sin embargo, pueden ser covariantes de Lorentz.

También es importante señalar que existen teorías de campos cuánticos invariantes que no son de Lorentz que, sin embargo, son microcausales (por ejemplo, algunos modelos acoplados a un campo de "éter" externo adecuado). En tales modelos, la microcausalidad y la condición del espectro de energía-momento son suficientes para asegurar que el espectro de energía-momento tiene una forma invariante de Lorentz y, por lo tanto, tiene leyes de dispersión invariantes de Lorentz (es decir, de tipo "masa-capa" o "cono de luz" ), incluso en ausencia de una invariancia de Lorentz de buena fe , esto es una consecuencia de la representación de Jost-Lehmann-Dyson de la función de dos puntos, que no se basa en la invariancia de Lorentz. Una vez más. esto muestra que los conceptos de invariancia de Lorentz y microcausalidad en una teoría cuántica de campos no son equivalentes.

gracias por tu respuesta. Weinberg, de hecho, dice que necesitamos microcausalidad para probar la Invariancia de Lorentz de la matriz S. Él dice que para algo como el campo de Dirac que no es directamente observable, esta es la única 'justificación' de la condición de microcausalidad. Sin embargo, el artículo que vinculé afirma que la microcausalidad puede derivarse de Lorentz Invariance. Sin embargo, muestran que también se mantiene en el espacio-tiempo curvo, en ausencia de LI global. En realidad, es un artículo bastante interesante.
Es importante señalar que los argumentos en el documento que citó no son rigurosos, ya que se basan principalmente en integrales funcionales formales y teoría de perturbaciones. El resultado de Methée que cité, por otro lado, es completamente riguroso y se cumple bajo suposiciones muy generales (la función de dos puntos ni siquiera necesita ser positiva o moderada). Además, la microcausalidad se encuentra en la base de las relaciones de dispersión de la matriz S y su comportamiento de alta energía resultante, que se puede comprobar en experimentos con colisionadores (límites de Froissart, etc.).
En el espacio-tiempo curvo, los argumentos basados ​​en integrales funcionales formales y la consiguiente teoría de la perturbación formal son aún más sospechosos porque, en general, no hay ni una rotación de Wick ni una matriz S para empezar: la geometría misma del espacio-tiempo impide que, dado que puede que no haya isometrías globales en absoluto. En este caso, un enfoque algebraico tiende a ser más apropiado.
Gracias por tus comentarios. Tengo una última pregunta. Si sabemos que para una teoría la matriz S es invariante de Lorentz, ¿se sigue automáticamente la microcausalidad?
@NirmalyaKajuri: parece que sí, lo hace. De la invariancia de Lorentz de S -El operador sigue, que los hamiltonianos de interacción conmutan en intervalos similares al espacio, que no es más que un criterio de microcausalidad.
@NameYYY estrictamente hablando, los hamiltonianos de interacción en QFT de volumen infinito no existen según el teorema de Haag (consulte, por ejemplo, physics.stackexchange.com/questions/87857/… ), por lo que este argumento no es riguroso. Se tendría que establecer un argumento adecuado utilizando fórmulas de reducción de LSZ o algo similar y, nuevamente, no estoy al tanto de tal argumento (me encantaría saberlo, por supuesto).
@PedroLauridsenRibeiro Las teorías de campo paraestadísticas respetan la causalidad relativista, pero carecen de restricciones de microcausalidad.
@NanashiNoGombe, los modelos de campo paraestadísticos verdaderos no se comprometen con la microcausalidad de Bose/Fermi (solo los campos compuestos observables lo hacen), pero pueden ser covariantes de Lorentz. Gracias (¡aunque sea un poco tarde!)

Considere una teoría de campo escalar invariante de Poincaré. Supongamos que tenemos garantizada la invariancia de Poincaré en el sentido de que existe una representación unitaria del grupo de Poincaré que actúa sobre el espacio de Hilbert, que transforma el operador de campo escalar ϕ ( X ) como

tu ( gramo ) ϕ ( X ) tu ( gramo ) † = ϕ ( gramo X )
para elementos gramo del grupo Poincaré.

Considere dos puntos separados en forma de espacio X , y . queremos mostrar

[ ϕ ( X ) , ϕ ( y ) ] = ? 0.
Por otro lado, sabemos que para dos puntos cualesquiera X ′ = ( 0 , X → ′ ) y y ′ = ( 0 , y → ′ ) en el momento t = 0 , tenemos
[ ϕ ( 0 , X → ′ ) , ϕ ( 0 , y → ′ ) ] = 0 ,
que se sigue inmediatamente de la perspectiva funcional de ondas o de celosía; por ejemplo, en una teoría reticular los operadores ϕ ( 0 , X → ′ ) y ϕ ( 0 , y → ′ ) actuar en diferentes sitios de red y, por lo tanto, conmutar.

Aquí está el paso clave: tenga en cuenta que para cualquier espacio X , y , existe alguna transformación de Poincaré gramo tomando X , y a X ′ , y ′ , es decir, transformando a un marco donde ambos puntos están en t = 0 . Por lo que entonces

tu ( gramo ) [ ϕ ( X ) , ϕ ( y ) ] tu ( gramo − 1 ) = [ ϕ ( 0 , X → ′ ) , ϕ ( 0 , y → ′ ) ] = 0
y por lo tanto [ ϕ ( X ) , ϕ ( y ) ] = 0 como se desee.

(En otra respuesta, Pedro Ribeiro menciona teorías invariantes de Lorentz que no son microcausales, y no estoy seguro de cómo violan mis suposiciones).

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