Conmutador involucrado en gradiente en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Question

Conmutador involucrado en gradiente en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Jorge Lavín

En una cuarta teoría phi, la densidad hamiltoniana es:

H = \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} + \frac{λ}{4!} ϕ^{4}

$\mathcal{H}=\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4$

Ahora impongo las habituales relaciones canónicas de conmutación de tiempo igual para campos ( $\hbar=1$ )

[ϕ (\vec{X}), π (\vec{y})] = i d^{3} (\vec{X} - \vec{y})

$[\phi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=i \delta^3(\vec{x}-\vec{y})$

dónde

π = \frac{\partial L}{\partial (\dot{ϕ})} \equiv \dot{ϕ}

$\pi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot{\phi})} \equiv \dot{\phi}$

La ecuación de movimiento de Heisenberg para el campo es solo la definición del momento conjugado

\frac{d}{d t} ϕ (\vec{X}, t) = π (\vec{X}, t)

$\frac{d}{dt}\phi(\vec{x},t)=\pi(\vec{x},t)$

y para $\pi(\vec{x})$ Tengo que calcular el conmutador (sin escribir la dependencia del tiempo)

[H, π (\vec{X}, t)] = \int d^{3} X^{'} [\frac{1}{2} π^{2} ({\vec{X}}^{'}) + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} ({\vec{X}}^{'}) + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} ({\vec{X}}^{'}) + \frac{λ}{4!} ϕ^{4} ({\vec{X}}^{'}), π (\vec{X})]

$[H,\pi(\vec{x},t)]=\int d^3x'\left[\frac{1}{2}\pi^2(\vec{x}')+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2(\vec{x}')+\frac{1}{2}m^2\phi^2(\vec{x}')+\frac{\lambda}{4!}\phi^4(\vec{x}'),\pi(\vec{x}) \right]$

El primer término da cero, el tercer y cuarto término dan $i\left(m^2\phi(\vec{x})+\frac{\lambda}{3!}\phi^3(\vec{x})\right)$

mi pregunta es como puedo calcular

\frac{1}{2} \int d^{3} X^{'} [(\nabla ϕ)^{2} ({\vec{X}}^{'}), π (\vec{X})]

$\frac{1}{2}\int d^3x' [(\nabla \phi)^2(\vec{x}'),\pi(\vec{x})]$

Como una analogía con la integral del conmutador es el conmutador de la integral, puedo escribir $\nabla \phi^2=\nabla \phi \cdot \nabla \phi$ e integrar por partes? ¿Cómo puedo demostrar que eso es cierto?

Miguel

Podría hacer la integración por partes, pero no me molestaría (sería más fácil hacerlo en la fórmula para el hamiltoniano antes de hacer el conmutador). Más bien, comenzaría por calcular el conmutador para los componentes individuales del gradiente:

[\partial_{i^{'}} ϕ ({\vec{x}}^{'}), π (\vec{x})]

$[\partial_{i'} \phi(\vec{x}'), \pi(\vec{x})]$ por donde

\partial_{i^{'}}

$\partial_{i'}$ Quiero decir

\partial_{x^{'}}, \partial_{y^{'}}, \partial_{z^{'}}

$\partial_{x'},\partial_{y'},\partial_{z'}$ . Tenga en cuenta que puede extraer las derivadas espaciales del conmutador. Puede usar este resultado y algunas identidades estándar para simplificar la expresión que tiene.

Jorge Lavín

\partial_{i^{'}} [ϕ ({\vec{x}}^{'}), π (\vec{x})] = \partial_{i^{'}} i δ^{3} (\vec{x} - {\vec{x}}^{'})]

$\partial_{i'}[\phi(\vec{x}'),\pi(\vec{x})]=\partial_{i'}i\delta^{3}(\vec{x}- \vec{x}')]$ Como

(\nabla_{^{'}} ϕ ({\vec{x}}^{'}))^{2} = \partial_{i} \partial^{i} (x)

$(\nabla_{'} \phi(\vec{x}'))^2=\partial_{i}\partial^{i}(x)$ pero no estoy muy seguro

Miguel

Sí. El degradado simplemente sale. (No funciona con derivadas temporales porque

\dot{ϕ} = π

$\dot{\phi}=\pi$ , pero los derivados espaciales no son nada especial.)

Jorge Lavín

@Michael Brown Lo siento, escribí la introducción demasiado rápido y no pude editar mi comentario a tiempo. Veo que obtengo la segunda derivada de un delta, ¿eso significa que cuando hago la integral, obtengo la segunda derivada sin la integral?

Miguel

Sí, obtienes la derivada de una función delta. Vamos a escribirlo cuidadosamente aquí:

[(\nabla ϕ)^{2} (x), π (y)] = \nabla ϕ (x) \cdot [\nabla ϕ (x), π (y)] + [\nabla ϕ (x), π (y)] \nabla ϕ (x)

$[(\nabla\phi)^2(x),\pi(y)]=\nabla\phi(x)\cdot[\nabla\phi(x),\pi(y)]+[\nabla\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)$ . Simplificando:

\nabla ϕ (x) \cdot \nabla_{x} [ϕ (x), π (y)] + \nabla_{x} [ϕ (x), π (y)] \nabla ϕ (x) = 2 \nabla ϕ (x) \cdot \nabla_{x} i δ (x - y)

$\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]+\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)=2\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x i\delta(x-y)$ . Entonces ves una derivada de una función delta en alguna integral:

\int d x f (x) \partial δ (x - y)

$\int \mathrm{d}x f(x) \partial \delta(x-y)$ . ¿Cómo lidiarías con eso?

Jorge Lavín

es la derivada de

f (x)

$f(x)$ con respecto a

x

$x$ evaluado en

x - y = 0

$x-y=0$ ,

f^{'} (y)

$f'(y)$

Miguel

Hay un signo menos de integración por partes

- f^{'} (y)

$-f'(y)$ .

Respuestas (2)

Conmutador involucrado en gradiente en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Podría hacer la integración por partes, pero no me molestaría (sería más fácil hacerlo en la fórmula para el hamiltoniano antes de hacer el conmutador). Más bien, comenzaría por calcular el conmutador para los componentes individuales del gradiente: $[\partial_{i'} \phi(\vec{x}'), \pi(\vec{x})]$ por donde $\partial_{i'}$ Quiero decir $\partial_{x'},\partial_{y'},\partial_{z'}$ . Tenga en cuenta que puede extraer las derivadas espaciales del conmutador. Puede usar este resultado y algunas identidades estándar para simplificar la expresión que tiene.
$\partial_{i'}[\phi(\vec{x}'),\pi(\vec{x})]=\partial_{i'}i\delta^{3}(\vec{x}- \vec{x}')]$ Como $(\nabla_{'} \phi(\vec{x}'))^2=\partial_{i}\partial^{i}(x)$ pero no estoy muy seguro
Sí. El degradado simplemente sale. (No funciona con derivadas temporales porque $\dot{\phi}=\pi$ , pero los derivados espaciales no son nada especial.)
@Michael Brown Lo siento, escribí la introducción demasiado rápido y no pude editar mi comentario a tiempo. Veo que obtengo la segunda derivada de un delta, ¿eso significa que cuando hago la integral, obtengo la segunda derivada sin la integral?
Sí, obtienes la derivada de una función delta. Vamos a escribirlo cuidadosamente aquí: $[(\nabla\phi)^2(x),\pi(y)]=\nabla\phi(x)\cdot[\nabla\phi(x),\pi(y)]+[\nabla\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)$ . Simplificando: $\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]+\nabla_x[\phi(x),\pi(y)]\nabla\phi(x)=2\nabla\phi(x)\cdot\nabla_x i\delta(x-y)$ . Entonces ves una derivada de una función delta en alguna integral: $\int \mathrm{d}x f(x) \partial \delta(x-y)$ . ¿Cómo lidiarías con eso?
es la derivada de $f(x)$ con respecto a $x$ evaluado en $x-y=0$ , $f'(y)$

pppqqq · Answer 1

Aquí hay un cálculo formal. Primero tenga en cuenta que:

[A^{2}, B] = A A B - A B A + A B A - B A A = A [A, B] + [A, B] A .

$[A^2,B]=AAB-ABA+ABA-BAA=A[A,B]+[A,B]A.$

También:

[\frac{\partial}{\partial z^{'}} ϕ (X^{'}), π (X)] = \frac{\partial}{\partial z^{'}} [ϕ (X^{'}), π (X)] = \frac{\partial}{\partial z^{'}} i d^{3} (X^{'} - X) = i \frac{\partial d}{\partial z^{'}} (z^{'} - z) d (X^{'} - X) d (y^{'} - y) .

$[\frac{\partial}{\partial z'}\phi (\mathbf x'),\pi (\mathbf x)]=\frac{\partial}{\partial z'}[\phi (\mathbf x'),\pi (\mathbf x)]=\frac{\partial}{\partial z'}i\delta ^3 (\mathbf x ' -\mathbf x )=i\frac{\partial \delta}{\partial z'} (z'-z)\delta(x'-x)\delta (y'-y).$

Recuerde que la derivada de una distribución $T$ es definido por:

(T^{'}, F) = - (T, F^{'}) .

$(T',f)=-(T,f').$

Entonces:

[(\frac{\partial}{\partial z^{'}} ϕ (X^{'}))^{2}, π (X)] = 2 i \frac{\partial d}{\partial z^{'}} (z^{'} - z) d (X^{'} - X) d (y^{'} - y) \frac{\partial ϕ}{\partial z^{'}} (X^{'})

$[(\frac{\partial}{\partial z'}\phi (\mathbf x'))^2,\pi (\mathbf x)]=2i\frac{\partial \delta}{\partial z'} (z'-z)\delta(x'-x)\delta (y'-y)\frac{\partial \phi}{\partial z'} (\mathbf x ')$ y:

\int d^{3} X^{'} [(\frac{\partial}{\partial z^{'}} ϕ (X^{'}))^{2}, π (X)] = - 2 i \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial z^{2}} (X) .

$\int \text {d} ^3 \mathbf x '[(\frac{\partial}{\partial z'}\phi (\mathbf x'))^2,\pi (\mathbf x)]=-2i\frac{\partial ^2\phi}{\partial z ^2} (\mathbf x ).$

de pesadilla · Answer 2

$\int d^{3}\vec{x}'[\nabla\phi(\vec{x}',t)\cdot{\nabla\phi(\vec{x}',t)},\pi(\vec{x},t)]$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'},\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)\cdot{\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'},\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)},\pi(\vec{x},t)\bigg]$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\Big)^{2}+\Big(\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'}\Big)^{2}+\Big(\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)^{2},\pi(\vec{x},t)\bigg]$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\Big)^{2},\pi(\vec{x},t)\bigg]+\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{y}',t)}{\partial y'}\Big)^{2},\pi(\vec{y},t)\bigg]+\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{z}',t)}{\partial z'}\Big)^{2},\pi(\vec{z},t)\bigg]$ .

Consideremos solo el primer conmutador.

$\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\Big(\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\Big)^{2},\pi(\vec{x},t)\bigg]$

$\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\pi(\vec{x},t)\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}+\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\pi(\vec{x},t)\bigg]$ .

Consideremos solo el primer conmutador.

$\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'},\pi(\vec{x},t)\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\pi(\vec{x},t)-\pi(\vec{x},t)\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\bigg[\frac{\partial}{\partial x'}\{\phi(\vec{x}',t)\pi(\vec{x},t)\}-\phi(\vec{x}',t)\frac{\partial\pi(\vec{x},t)}{\partial x'}-\frac{\partial}{\partial x'}\{\pi(\vec{x},t)\phi(\vec{x}',t)\}+\frac{\partial\pi(\vec{x},t)}{\partial x'}\phi(\vec{x}',t)\bigg]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\frac{\partial}{\partial x'}[\phi(\vec{x}',t),\pi(\vec{x},t)]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\int d^{3}\vec{x}'\frac{\partial}{\partial x'}[i\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{x},t)]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=\frac{\partial}{\partial x}[i]\frac{\partial\phi(\vec{x}',t)}{\partial x'}$

$=0$ .

Del mismo modo, todos los demás términos son cero.

Entonces, la respuesta es cero.

Conmutador involucrado en gradiente en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Jorge Lavín

Miguel

Jorge Lavín

Miguel

Jorge Lavín

Miguel

Jorge Lavín

Miguel

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pppqqq

de pesadilla

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