¿Cómo debo imaginar un conmutador spinor, o ocurrencias consecutivas de Ψ¯Ψ¯\bar{\Psi} y ΨΨ\Psi en general?

Me está costando encontrarle sentido a una expresión como

[ Ψ ( X ) , Ψ ¯ ( y ) ] .
Hasta ahora me imaginaba un operador espinor como algo así como un vector columna de operadores, algo así como
Ψ = ( Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4 ) .
Y de manera similar, el adjunto de Dirac sería
Ψ ¯ = ( Ψ ¯ 1 Ψ ¯ 2 Ψ ¯ 3 Ψ ¯ 4 ) .
Sin embargo, cuando veo términos que contienen operadores o conmutadores, todos los operadores se escriben uno tras otro, sin ninguna indicación de lo que significa en términos de sus estructuras matriciales. Para operadores con solo un "componente", esto funciona bien, ya que uno puede definir algo como la multiplicación sin tener demasiados problemas. Sin embargo, con un conmutador:
[ Ψ , Ψ ¯ ] = Ψ Ψ ¯ − Ψ ¯ Ψ ,
si asumo que el mapa entre los dos operadores consecutivos es una multiplicación de matrices, uno produce un 4 × 4 matriz, mientras que la otra produce solo un componente.

¿Cómo debo pensar en algo escrito así? ¿O significa esto que cualquier ecuación que involucre un espinor solo debe interpretarse por componentes?

¿Te refieres al espinor anticonmutador?
Sí, hay dos índices de espinor implícitos en el lado derecho. Al igual que los campos también dependen de la posición, pero generalmente no escribe los dos argumentos de posición en el lado derecho, se suprime por brevedad.
@CosmasZachos acabo de escribir el conmutador para dar un ejemplo, podría plantear la misma pregunta sobre el anticonmutador
Entonces, ¿por qué diablos no usaste campos de bosones vectoriales o isoespinados?
@CosmasZachos Todavía no hicimos campos de bosones isoespinados en el curso, y los campos vectoriales no tienen el mismo problema, porque los índices ( m v y así sucesivamente) se utilizan explícitamente todo el tiempo. Me encontré con la pregunta al leer la sección en peskin & schröder, donde intentan usar el conmutador para la cuantificación (y luego ven que no funciona). TBH No veo un problema aquí. La pregunta no mejora / empeora si pregunto sobre el conmutador en lugar del anticonmutador, aunque el anticonmutador se usa con mucha más frecuencia.

Respuestas (1)

Al calcular conmutadores (o, más comúnmente, anticonmutadores) de operadores de fermiones como este, siempre se calculan los (anti-)conmutadores de componentes particulares de los campos. Esto hace que los resultados sean inequívocos.

Por ejemplo, puede que desee calcular { ψ ¯ α ′ , ψ β } . Este es un objeto con residuos. ( α , β ) índices, por lo que representa una matriz en el espacio spinor. Por ejemplo, si calculas algo como { ψ α † ( X → ) , ψ β ( X → ′ ) } , encontrará los componentes de un 4 × 4 matriz que son diagonales en el espacio del espinor, d α β d 3 ( X → − X → ′ ) . [Recuerda eso ψ α † puede ampliarse aún más como ψ ¯ m ( γ 0 ) m α .]

¿Cómo debo imaginar un conmutador spinor, o ocurrencias consecutivas de Ψ¯Ψ¯\bar{\Psi} y ΨΨ\Psi en general?
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