¿Qué significa tener un QFT que no puede ser codificado por una acción? ¿Cuál es, con mucho, el enfoque de estudio más poderoso en tal caso? ¿Cuál es la teoría física mejor estudiada que entra en esta categoría? ¿Qué es QFT? Creo que es un conjunto de reglas que facilitan las descripciones de las cosas que podemos observar, pero ¿cuál es la forma matemáticamente más precisa de capturar lo que es? He leído casos en los que falla el enfoque de la integral de trayectoria. ¿Qué significa esto? ¿Existe alguna estructura geométrica cuyas propiedades describan el espacio de todas las QFT's posibles? ¿Qué pasa cuando no puedes usar una acción?
Es posible abstraer la noción de QFT de la noción de lagrangianos/hamiltonianos, una forma axiomática son los axiomas de Wightman . Como se puede ver, reducen la teoría cuántica a su corazón: un espacio de Hilbert donde viven los estados y un operador de campo que actúa sobre él, generando "partículas", todo esto sucediendo de manera covariante de Lorentz.
Un ejemplo concreto de QFT sin acción son los CFT en 2 dimensiones, se arreglan casi por completo al exigir que sean un QFT en el sentido axiomático que tiene una simetría de Virasoro .
El "espacio de todos los QFT posibles" es una pregunta bastante complicada (y abierta, creo), ya que es bastante difícil probar que un QFT dado es realmente un QFT en el sentido de los axiomas de Wightman (u Osterwalder-Schrader).
Una gran clase de QFT llamadas teorías de campo conforme de 2 dimensiones se pueden definir sin una acción.
El método general para construir una CFT de cualquier dimensión es el siguiente, puedes calcular la acción de los generadores de simetría de los campos utilizando las identidades de Ward y sus relaciones de conmutación dadas por el álgebra de Virasoro que te permite construir todo el espacio de hilbert a partir del conocimiento de cómo su conjunto de campos "primarios" se transforma bajo transformaciones conformes que se codifica en la dimensión conforme. La razón por la que puede hacer esto en CFT pero no en ningún QFT es la correspondencia entre el estado y el operador. Cada estado del espacio de Hilbert está en correspondencia 1-1 con el conjunto de operadores de campo. Hay un subconjunto de estos llamados modelos mínimos que se definen a través de un conjunto finito de campos primarios. Incluso se les puede dar una formulación lagrangiana mediante el formalismo del gas de Couloumb que consiste en acoplarlo con el escalar de Ricci.
Lo que distingue una CFT d-dimensional de una CFT en 2 dimensiones es que el grupo conforme de una CFT 2D es de dimensión infinita. Cualquier aplicación localmente holomorfa corresponde a una transformación conforme local. Esto le permite utilizar expansiones de Laurent y otras herramientas de análisis complejo.
Para "¿Qué es un QFT"? Esta página de nLab puede ser útil. De alguna manera "axiomatiza la asignación de álgebras de observables a parches de espacio de parámetros".
Para más información en CFT consulte la teoría del campo conforme de di Francesco et al.
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