Sin corriente: ¿conmutar o no conmutar?

Tengo dos preguntas relacionadas.

1) Antes de promover los campos en una teoría (por ejemplo escalar complejo L = ∂ m ϕ † ∂ m ϕ ) a los operadores se pueden conmutar los campos libremente, por ejemplo en la corriente de Noether

j m = i ( ϕ ∂ m ϕ † − ( ∂ m ϕ ) ϕ † ) = i ( ( ∂ m ϕ † ) ϕ − ϕ † ∂ m ϕ )
¿Por qué esto no afecta al operador? j m después de la cuantización?

Si quisiera determinar la corriente para un Lagrangiano ya en términos de operadores (por ejemplo, cuando tomo un hamiltoniano de materia condensada (operador) y Legendre lo transforma), allí el orden de los operadores es repentinamente importante y obtengo resultados contradictorios para la corriente.

2) En el escenario explícito de una partícula libre no relativista H = pag 2 2 metro es decir, en segunda forma cuantificada

L = ∫ d X L = ∫ d X   Ψ † ( X , t ) ( i ∂ t + 1 2 metro ∂ X 2 ) Ψ ( X , t ) = − 1 2 metro ∫ d X   ∂ X Ψ † ( X ) ∂ X Ψ ( X )
donde eliminé la dependencia del tiempo porque no es relevante para esta pregunta, ¿puedo usar
j ( X ) = ∂ L ∂ ( ∂ X Ψ ( X ) ) Δ Ψ ( X ) + ∂ L ∂ ( ∂ X Ψ † ( X ) ) Δ Ψ † ( X ) = − i 2 metro [ ( ∂ X Ψ † ( X ) ) Ψ ( X ) − ( ∂ X Ψ ( X ) ) Ψ † ]
definir el componente espacial de la corriente de Noether? Esto parece estar en conflicto con la literatura en términos de orden de los operadores y signos (ver, por ejemplo, Mahan página 24).

"¿Por qué esto no afecta al operador j m después de la cuantización? " - ¿Quién dice que no? Además, tenga en cuenta que en alguna parte de nuestra definición de "cuantización" elegimos algún tipo de prescripción de orden para el mapa de observables clásicos a observables cuánticos, ya sea explícitamente por orden normal/ordenación de Weyl/lo que sea -ordenar algo o implícitamente como en la integral de trayectoria.
De hecho, el orden afecta las corrientes conservadas. Un ejemplo prototípico está en la cuantización de la cuerda bosónica y las ambigüedades de orden se explican bastante bien en Green, Schwarz y Witten.

Respuestas (2)

Sí, el proceso de cuantificación tiene ambigüedades de orden, no solo en QFT sino también en QM estándar. Tienes que postular algún orden, y la teoría resultante generalmente depende (aunque de manera bastante trivial) del orden de los factores.

Debido a la naturaleza trivial de las relaciones canónicas de conmutación, los diferentes ordenamientos de las cargas de Noether suelen ser el mismo módulo un desplazamiento constante:

q o r d mi r i norte gramo 1 = q o r d mi r i norte gramo   2 + constante

por lo que el procedimiento estándar es determinar esta constante arbitraria declarando que el vacío tiene carga cero:

q | 0 ⟩ ≡ 0
lo que, en efecto, solo significa para el orden normal la carga de Noether.

No tengo una copia de Mahan, pero no veo nada malo en su corriente, excepto quizás por el coeficiente global (que en realidad no está fijado por el teorema de Noether, en la medida en que si j se conserva por lo que es C j para cualquier C ∈ C ). Puede comprobar si su normalización de j es el estándar comprobando si

[ q , Ψ ] = Ψ
se satisface tal como es, o si viene con algún coeficiente divertido delante de Ψ .

El teorema de Noether es un enunciado sobre una teoría clásica con una acción clásica S . Para cuantificar la teoría, debemos reemplazar las expresiones conmutativas clásicas, como, por ejemplo, la corriente de Noether j m con operadores no conmutativos j ^ m . Tenga en cuenta que la cuantización no es un procedimiento único (cf., por ejemplo, esta y esta publicación de Phys.SE), y que pueden aparecer anomalías cuánticas en las leyes de conservación cuantizadas.

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