¿Qué es la "densidad de momento" y por qué es importante para QFT?

Question

¿Qué es la "densidad de momento" y por qué es importante para QFT?

Stan Shunpike

Estoy leyendo Teoría cuántica de campos para aficionados superdotados . En la página 98, proporcionan un resumen de un procedimiento básico de cuantificación canónica:

Paso I: Escriba una densidad lagrangiana clásica en términos del campo. Esta es la parte creativa porque hay muchos Lagrangianos posibles. Después de este paso, todo lo demás es automático.

Paso II: Calcular la densidad de cantidad de movimiento y calcular la densidad hamiltoniana en términos de campos.

Paso III: Ahora trate los campos y la densidad de cantidad de movimiento como operadores. Imponerles relaciones de conmutación para hacerlos mecánicos cuánticos.

Paso IV: Ampliar el campo en términos de operadores de creación/aniquilación. Esto nos permitirá usar números de ocupación y mantenernos cuerdos.

Paso V: Eso es todo. Felicitaciones, ahora es el orgulloso propietario de una teoría de campos cuánticos en funcionamiento, siempre que recuerde la interpretación de orden normal.

No entiendo qué es la densidad de impulso o por qué aparece en este punto del proceso de cuantificación. Si por momento, quieren decir como el operador $\hat{p}$ , ¿qué pasa con el operador de posición $\hat{x}$ ? ¿Por qué no se necesita también un operador de densidad de posición? Todo lo demás en el procedimiento tiene sentido para mí excepto el Paso II. Supongo que la densidad hamiltoniana es la contraparte hamiltoniana de la densidad lagrangiana.

¿Alguien puede explicar qué es la densidad de momento y por qué es necesaria en este paso del procedimiento?

petirrojo

¿Estás familiarizado con cómo pasar de la formulación lagrangiana a la formulación hamiltoniana en el caso de la mecánica?

Stan Shunpike

No. No he revisado eso cuidadosamente. Si ese es el término de la mecánica clásica, entonces sé dónde encontrar información para responder esta pregunta y todo tiene sentido ahora.

Stan Shunpike

Parte de mi vacilación a la hora de aprender el hamiltoniano era la complejidad de las variedades simplécticas. No he podido captar los productos de tensor y, por lo tanto, los productos de cuña. Así que realmente no le había prestado mucha atención. Pero supongo que eso no es realmente relevante para la pregunta que estoy haciendo, por lo que sería útil e importante saber cómo cambiar de Lagrangiano a Hamiltoniano.

petirrojo

Sí, solo necesita recordar el

p = \partial L / \partial \dot{x}

$p = \partial L / \partial \dot x$ ,

H = p \dot{x} - L

$H = p\dot x - L$ parte. El paso II es solo esto pero con campos.

prahar

@StanShunpike: uno no puede entender la cuantización canónica sin comprender la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica. Además, no se requiere conocimiento de variedades simplécticas, etc. para tener el conocimiento básico del formalismo hamiltoniano que se requiere para comprender QM.

Stan Shunpike

¿Ah, de verdad? ¡Súper! Estaba tan... a falta de una palabra mejor... que me desconectó porque todavía no tengo el conocimiento para entender los flujos en los colectores en el contexto de la física todavía. Pero eso es estupendo. Entonces no debería tomar mucho tiempo familiarizarse con él. Mucho menos tiempo de lo que esperaba.

Respuestas (1)

¿Qué es la "densidad de momento" y por qué es importante para QFT?

¿Estás familiarizado con cómo pasar de la formulación lagrangiana a la formulación hamiltoniana en el caso de la mecánica?
No. No he revisado eso cuidadosamente. Si ese es el término de la mecánica clásica, entonces sé dónde encontrar información para responder esta pregunta y todo tiene sentido ahora.
Parte de mi vacilación a la hora de aprender el hamiltoniano era la complejidad de las variedades simplécticas. No he podido captar los productos de tensor y, por lo tanto, los productos de cuña. Así que realmente no le había prestado mucha atención. Pero supongo que eso no es realmente relevante para la pregunta que estoy haciendo, por lo que sería útil e importante saber cómo cambiar de Lagrangiano a Hamiltoniano.
Sí, solo necesita recordar el $p = \partial L / \partial \dot x$ , $H = p\dot x - L$ parte. El paso II es solo esto pero con campos.
@StanShunpike: uno no puede entender la cuantización canónica sin comprender la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica. Además, no se requiere conocimiento de variedades simplécticas, etc. para tener el conocimiento básico del formalismo hamiltoniano que se requiere para comprender QM.
¿Ah, de verdad? ¡Súper! Estaba tan... a falta de una palabra mejor... que me desconectó porque todavía no tengo el conocimiento para entender los flujos en los colectores en el contexto de la física todavía. Pero eso es estupendo. Entonces no debería tomar mucho tiempo familiarizarse con él. Mucho menos tiempo de lo que esperaba.

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

un campo $\phi^{\alpha}:[t_i,t_f]\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ es la versión teórica de campo de una variable de posición ( generalizada ) $q^i:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ en mecánica de puntos. Tenga en cuenta que el espacio de posición física $\mathbb{R}^3$ normalmente juega papeles muy diferentes en la teoría de campos y en la mecánica de puntos. $^1$
Densidad de momento $\pi_{\alpha}$ es la generalización teórica de campo natural de la variable de momento $p_i$ de la mecánica de puntos. Las densidades de impulso (lagrangianas) son
$\begin{matrix} (1) & π_{α} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{α}} \end{matrix}$ $\tag{1}\pi_{\alpha}~:=~\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{\phi}^{\alpha}}$ en analogía con $\begin{matrix} (2) & {pag}_{i} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}} \end{matrix}$ $\tag{2}p_i~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}$ en mecánica de puntos.
Tenga en cuenta que hay otra noción de impulso $P^i=T^{0i}$ procedente del tensor tensión-energía-momentum $T^{\mu\nu}$ , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Uno debe realizar una transformación de Legendre.
$\begin{matrix} (3) & {\dot{ϕ}}^{α} ⟷ π_{α} \end{matrix}$ $\tag{3}\dot{\phi}^{\alpha} \quad\longleftrightarrow\quad \pi_{\alpha}$ para llegar a la formulación hamiltoniana. Tenga en cuenta en particular que las densidades de momento (hamiltonianas) $\pi_{\alpha}$ son variables independientes.
Se necesita la formulación hamiltoniana. $^2$ para imponer las relaciones canónicas de conmutación (CCR) necesarias para la cuantificación .

--

$^1$ La noción de espacio-tiempo, posición y campo se puede definir de manera más general con la ayuda de la geometría diferencial y la noción de variedad .

$^2$ Aquí solo discutimos el enfoque tradicional. Para la formulación hamiltoniana manifiestamente covariante, consulte también, por ejemplo, esta y esta publicación de Phys.SE.

Con respecto al punto 5, leí aquí physics.stackexchange.com/q/21866/66165 que no necesariamente necesitamos la formulación hamiltoniana. ¿Estoy malinterpretando esa publicación?
Depende de lo que quieras hacer. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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petirrojo

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