¿Bajo qué casos el operador Batalin-Vilkovisky (BV) es nilpotente?

Comentarios a la pregunta (v3):

1. Por un lado, tradicionalmente, el operador Batalin-Vilkovisky (BV)$\Delta$en la formulación Lagrangiana BRST codifica datos geométricos del espacio de fase antisimpléctico para el modelo, específicamente la estructura antisimpléctica [es decir, el llamado antibracket$(\cdot,\cdot)$, o paréntesis de Poisson impar] y una densidad de volumen integral de trayectoria$\rho$. El operador BV$\Delta f$en una función$f$generalmente se toma como (proporcional a) la$\rho$-divergencia$^1$del campo vectorial hamiltoniano$(f,\cdot)$, lo que lo convierte en un operador diferencial de segundo orden conocido como laplaciano impar. La nilpotencia fuera de la cáscara

   $$\Delta^2~=~0\tag{1}$$ de$\Delta$codifica una condición de compatibilidad$^2$entre el antibracket$(\cdot,\cdot)$y la integral de trayectoria mide la densidad$\rho$.

2. Por otro lado, está la acción del maestro cuántico.$W$, que se construye a partir de la acción original, la simetría de calibre original, campos auxiliares y anticampos utilizando el recetario/libro de recetas BV, de tal manera que satisface la ecuación maestra cuántica

   $$\Delta e^{\frac{i}{\hbar}W}~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{1}{2}(W,W)~=~i\hbar\Delta W \tag{2}$$ fuera de la cáscara. El operador cuántico BRST se define como $$\sigma~:=~(W,\cdot)-i\hbar\Delta \tag{3}$$ El operador cuántico BRST es nilpotente $$\sigma^2~=~0\tag{4}$$ fuera de la cáscara, debido a las ecs. (1)-(3).

3. Para completar, mencionemos que también hay un análogo hamiltoniano al formalismo lagrangiano BV. Esto se conoce como formalismo Batalin-Fradkin-Vilkovisky (BFV). Aquí la carga BRST$Q$, que es nilpotente de Poisson

   $$\{Q,Q\}_{PB}~=~0\tag{5}$$ off-shell, genera la transformación BRST$\{Q,\cdot\}_{PB}$, que a su vez es nilpotente fuera de la cáscara, $$\{Q,\{Q,\cdot\}_{PB}\}_{PB}~=~0\tag{6}$$ debido a la ec. (5) y la identidad de Jacobi para el corchete par de Poisson$\{\cdot,\cdot\}_{PB}$.

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$^1$El teorema de Liouville en geometría simpléctica, que establece que los campos vectoriales hamiltonianos están libres de divergencias, no se cumple en la geometría antisimpléctica.

$^2$Esta condición de compatibilidad para$(\cdot,\cdot)$y$\rho$se satisface, por ejemplo, para las coordenadas antisimplécticas de Darboux con$\rho=1$. Existen en la literatura varias generalizaciones que relajan esta condición de compatibilidad.