Ecuación 7.227.227.22 en Peskin & Schroeder: escribiendo la transformada de Fourier de una función de dos puntos como una serie de diagramas 1PI

El objetivo es encontrar el propagador de una sola partícula en presencia de interacciones. Este propagador será la suma de todos los diagramas que tengan dos vértices externos.

Esta suma de diagramas sería difícil de calcular, pero resulta fácil escribir esta gran suma de diagramas en términos de la suma de un conjunto más pequeño de diagramas: el conjunto de diagramas "irreducibles de una partícula" (1PI). Un diagrama 1PI es un diagrama que no se puede dividir en dos diagramas disjuntos cortando un solo borde del propagador.

Para ver por qué esto es cierto, nos damos cuenta de que cualquier diagrama puede "desenredarse" de manera única en una secuencia finita de diagramas 1PI. Esto significa que el conjunto de todos los diagramas está contenido en el conjunto de secuencias de diagramas 1PI.

Por otro lado, es claramente cierto que cualquier secuencia de diagramas 1PI es un diagrama. Así, el conjunto de todas las secuencias de los diagramas 1PI está en el conjunto de todos los diagramas.

Por lo tanto, concluimos que mirar todas las sucesiones finitas de los diagramas 1PI es lo mismo que mirar todos los diagramas.

Ahora que estamos viendo las sumas de los diagramas 1PI, notamos que la suma de los factores: supongamos por el bien del argumento que$x$,$y$, y$z$fueron los únicos diagramas 1PI. Entonces nuestra suma de secuencias de diagramas 1PI se vería así$1+x+y+z+xx+xy+xz+yx+yy+yz+zx+zy+zz+xxx+\cdots$. Ahora observe estos factores en$1+(x+y+z)+(x+y+z)^2+\cdots$. El punto clave aquí es que la suma de todas las longitudes$n$secuencias de diagramas 1PI es la$n$ª potencia de la suma de todos los diagramas 1PI. Esto se debe a que cuando construyes una longitud$n$secuencia de diagramas 1PI, simplemente elige un diagrama 1PI para el primero y otro para el segundo y así sucesivamente. Esto es lo mismo que sucede cuando calculas una potencia de la suma de diagramas 1PI.

El siguiente paso es básicamente reconocer que$1+(x+y+z)+(x+y+z)^2+\cdots$es una serie geométrica. Después de sumar esta serie, tiene una fórmula para el propagador interactivo en términos de la suma de solo los diagramas 1PI, como desee. Esta es la ecuación. 7.23 en Peskin