¿Puede la distancia de luminosidad ser mayor que la distancia del horizonte de partículas?

Mientras escribía mis notas sobre cosmología, encontré este pequeño rompecabezas, que no se describe en ninguno de mis libros sobre relatividad general.

Considere un espacio plano ($k = 0$) lleno de materia similar al polvo, de densidad de energía$\rho \propto a^{- 3}$, sin ninguna constante cosmológica ($\Lambda = 0$). Es fácil encontrar el factor de escala cosmológico que resuelve las ecuaciones de Friedmann-Lemaître:$a(t) \propto t^{2/3}$. Ahora, la distancia del horizonte de partículas es esta:

$$\tag{1} \mathcal{D}_P(t_0) = a(t_0) \int_0^{t_0} \frac{1}{a(t)} \; dt = 3 \, t_0.$$ La distancia de luminosidad está definida por $\mathcal{D}_L = \sqrt{L/4\pi F}$, dónde $F$es el flujo bolométrico en la ubicación del observador y $L$es la luminosidad absoluta de la fuente de luz. Se puede expresar exactamente como una función del parámetro redshift $z \equiv a(t_0)/a(t_e) - 1$, dónde $t_e$es el tiempo de emisión de la luz. Podemos escribir $t_e = t_0 - \delta t$, dónde $\delta t$es el tiempo de propagación de la señal luminosa. Para el universo de polvo presentado anteriormente, tenemos $$\tag{2} 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac{\delta t}{t_0} = \frac{1}{(1 + z)^{3/2}}.$$ Para $k = 0$, la distancia de luminosidad se puede expresar exactamente así: $$\tag{3} \mathcal{D}_L(t_0, z) = (1 + z) \, a(t_0) \int_{t_e}^{t_0} \frac{1}{a(t)} \; dt.$$ Para el universo de polvo, esta fórmula da esto: $$\tag{4} \mathcal{D}_L(t_0, z) = \sqrt{1 + z} \, \big( \sqrt{1 + z} - 1 \big) \, 3 \, t_0 \equiv \sqrt{1 + z} \, \big( \sqrt{1 + z} - 1 \big) \, \mathcal{D}_P.$$ entonces la pregunta es

¿ Puede la distancia de luminosidad ser mayor que la distancia del horizonte de partículas ? ¿Tiene sentido tener$\mathcal{D}_L > \mathcal{D}_P$? Si no, ¿cuál es el valor máximo del parámetro redshift?$z$?

La ecuación (4) da$\mathcal{D}_L \le \mathcal{D}_P$si$z \le \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) \approx 1.618$(¡sorprendentemente la proporción áurea !).

¡No sabía que había un valor máximo para el parámetro de corrimiento al rojo!

La ecuación (2) entonces da$\delta t_{\text{max}} = (3 - \sqrt{5}) \, t_0 \approx 0.764 \, t_0$, en lugar de$\delta t_{\text{max}} = t_0$para$z \rightarrow \infty$($t_0$es la edad del universo).

Si hacemos el mismo ejercicio en el caso de radiación pura ($\rho \propto a^{- 4}$,$a(t) \propto t^{1/2}$), obtenemos$z \le 1$y$\delta t_{\text{max}} = \frac{3}{4} \; t_0 = 0.75 \, t_0$.

¿Tienen sentido los cálculos que se muestran arriba?

¿Cuál es la interpretación de un corrimiento al rojo?$z > z_{\text{max}}$?