Paradoja de Olbers en un espacio cerrado

Question

Paradoja de Olbers en un espacio cerrado

Cham

Estoy buscando una interpretación adecuada de lo siguiente, que es una variante de la paradoja de Olbers .

Considere un universo vacío espacialmente cerrado ( $k = 1$ ) con una constante cosmológica positiva $\Lambda$ (universo cerrado deSitter). Es fácil resolver las ecuaciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker para encontrar el factor de escala:

\begin{matrix} (1) & a (t) = ℓ_{Λ} aporrear (t / ℓ_{Λ}), \end{matrix}

$\tag{1} a(t) = \ell_{\Lambda} \cosh{(t/\ell_{\Lambda})},$ dónde

ℓ_{Λ} = \sqrt{\frac{3}{Λ}}

$\ell_{\Lambda} = \sqrt{\frac{3}{\Lambda}}$ . El tiempo cosmológico no tiene ningún límite:

- \infty < t < \infty

$-\, \infty < t < \infty$ (sin Big Bang, sin Big Crunch). Sin embargo, debido a la expansión del espacio, hay dos horizontes, de la siguiente distancia propia (

t_{0}

$t_0$ es el tiempo presente del observador estacionario):

\begin{aligned} D_{PAGS} (t_{0}) & = a (t_{0}) \int_{- \infty}^{t_{0}} \frac{1}{a (t)} d t \\ (2) & = ℓ_{Λ} \arccos (- bronceado (t_{0} / ℓ_{Λ})) aporrear (t_{0} / ℓ_{Λ}), \\ D_{mi} (t_{0}) & = a (t_{0}) \int_{t_{0}}^{\infty} \frac{1}{a (t)} d t \\ (3) & = ℓ_{Λ} (π - \arccos (- bronceado (t_{0} / ℓ_{Λ}))) aporrear (t_{0} / ℓ_{Λ}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{D}_{P}(t_0) &= a( t_0) \int_{-\, \infty}^{t_0} \frac{1}{a(t)} \; dt \\[12pt] &= \ell_{\Lambda} \arccos{\big(- \tanh{(t_0 / \ell_{\Lambda})} \big)} \cosh{(t_0 / \ell_{\Lambda})}, \tag{2} \\[12pt] \mathcal{D}_{E}(t_0) &= a( t_0) \int_{t_0}^{\infty} \frac{1}{a(t)} \; dt \\[12pt] &= \ell_{\Lambda} \Big( \pi - \arccos{\big(- \tanh{(t_0 / \ell_{\Lambda})} \big)} \Big) \cosh{(t_0 / \ell_{\Lambda})}. \tag{3} \end{align}$ La primera distancia representa el horizonte de partículas , mientras que la segunda distancia representa el horizonte de eventos de ese espacio-tiempo vacío deSitter.

Ahora, se puede probar que la luminosidad aparente total en el tiempo $t_0$ de todas las "estrellas falsas" uniformemente distribuidas en cualquier espacio isótropo/homogéneo está dada por la siguiente integral:

\begin{matrix} (4) & yo (t_{0}) = \int yo norte d^{3} X = L_{mi} {norte}_{0} \int_{t_{min}}^{t_{0}} \frac{a (t)}{a (t_{0})} d t, \end{matrix}

$\tag{4} \mathcal{I}(t_0) = \int I \, n \; d^3 x = L_{\text{e}} \, n_0 \int_{t_{\text{min}}}^{t_0} \frac{a(t)}{a(t_0)} \; dt,$ dónde

L_{e}

$L_{\text{e}}$ es la luminosidad absoluta (o poder ) de una sola estrella, y

n_{0}

$n_0$ es la densidad numérica actual de estrellas en el momento

t_{0}

$t_0$ . En el caso de la materia polvorienta en un espacio plano euclidiano (

k = 0

$k = 0$ ,

a (t) \propto t^{2 / 3}

$a(t) \propto t^{2/3}$ y

t_{min} = 0

$t_{\text{min}} = 0$ ), esta integral converge y resuelve la paradoja de Olbers. Pero en el caso del espacio vacío deSitter definido anteriormente, el factor de escala (1) da (debido a

t_{min} = - \infty

$t_{\text{min}} = -\, \infty$ )

\begin{matrix} (5) & yo = \infty . \end{matrix}

$\tag{5} \mathcal{I} = \infty.$ Estoy desconcertado por este resultado, ya que todavía hay un horizonte de partículas (o causalidad), que da

D_{P} (t_{0}) \to ℓ_{Λ}

$\mathcal{D}_{P}(t_0) \rightarrow \ell_{\Lambda}$ cuando

t_{0} \to - \infty

$t_0 \rightarrow -\, \infty$ (límite inferior de la expresión (2)), y dado que la sección del espacio está cerrada (número finito de "estrellas falsas"):

\begin{matrix} (6) & {norte}_{nene} = norte (t) 2 π^{2} a^{3} (t) = {norte}_{0} 2 π^{2} a^{3} (t_{0}) = C s t mi . \end{matrix}

$\tag{6} N_{\text{tot}} = n(t) \, 2 \pi^2 a^3(t) = n_0 \, 2 \pi^2 a^3 (t_0) = cste.$

Entonces, ¿cómo debemos interpretar el resultado de una luminosidad aparente total infinita de un número finito de estrellas en un universo cerrado, con un horizonte de partículas?

Tenga en cuenta que el espacio se contrae exponencialmente durante el intervalo $-\, \infty < t < 0$ (ver el factor de escala (1)), así que sospecho que esto es una pista para la interpretación correcta (el límite inferior $t_{\text{min}} = -\, \infty$ está explotando la integral (4)).

Además, tenga en cuenta que la distancia propia instantánea máxima en el espacio cerrado es $\mathcal{D}_{\text{max}}(t) = \pi \, a(t)$ .

Ya no estoy seguro de que deba usar $t_{\text{min}} = -\, \infty$ en la integral (4) anterior. Esto puede ser una pista sobre el origen de mi problema. La luz puede dar varias vueltas en el universo cerrado antes de ser detectada por el observador, por lo que esto puede producir la luminosidad infinita si las estrellas están emitiendo luz desde el infinito en el pasado. Pero, ¿debemos tener esto en cuenta? La luminosidad debe definirse para recoger toda la luz que está llegando a un punto dado (el observador) en un momento dado $t_0$ , por lo que creo que no deberían incluirse varias vueltas. Cada vez que la luz llega a la ubicación del observador en algún momento, cuenta para la luminosidad en ese momento . Vea mis comentarios a continuación. Qué piensas ?

Kostya

Tienes un número finito de estrellas, sí, pero emiten luz durante un tiempo infinito.

Cham

@Kostya, bueno, lo que más me desconcierta es el horizonte de causalidad. No impide que la luminosidad explote. Supongo que la contracción del espacio en el pasado está concentrando los rayos de luz de una manera que hace que la integral diverja, ¿es esa la "interpretación correcta" de este infinito?

Cham

@Kostya, su argumento no es válido: para un número finito de estrellas en un espacio cerrado , incluso si las estrellas irradian desde una cantidad infinita de tiempo, la luminosidad total en un lugar determinado y en un momento dado debe ser finito . La luz emitida en diferentes momentos simplemente llega al observador en diferentes momentos. En el caso de un espacio cerrado eterno (ie

a = cste

$a = \textit{cste}$ ), mi cálculo da la siguiente luminosidad:

yo = π L_{mi} {norte}_{0} a \equiv \frac{norte L_{mi}}{2 π a^{2}} .

$\mathcal{I} = \pi \, L_\text{e} \, n_0 \, a \equiv \frac{N L_{\text{e}}}{2 \pi \, a^2}.$ dónde

N

$N$ es el número total de estrellas en ese espacio cerrado.

Kostya

La luz emitida en diferentes momentos está llegando al observador en diferentes momentos, correcto. Pero en un momento dado desde el punto de vista del observador, recibe la luz emitida desde muchos (infinitos) momentos en el pasado. Ve infinitas copias pasadas de la misma estrella.

Cham

@Kostya, estoy de acuerdo, pero parece haber un problema: la luz puede propagarse por todo el universo y regresar exactamente a su fuente antes de regresar nuevamente a la ubicación del observador. ¿Qué sucede cuando vuelve a la fuente? ¿Está bloqueado/absorbido por la fuente? Si la fuente desaparece antes de que regrese la luz, entonces reducimos la cantidad de estrellas con el tiempo. Y si la luz llega a la ubicación del observador antes de tiempo

t_{0}

$t_0$ (antes de regresar a la fuente), luego es bloqueado por el detector del observador, en lugar de un conteo en

t < t_{0}

$t < t_0$ ?

Kostya

No sé por qué piensas que la luz que da varias vueltas al universo no debería ser registrada como parte de la luminosidad. Si desea introducir algo de absorción, puede formular otro problema con él. Pero por la forma en que está formulado actualmente, no puedo entender cómo la luminosidad infinita no es intuitiva para ti. Sólo de la conservación de la energía.

AVS

" La luz puede girar varias veces en el universo cerrado antes de ser detectada por el observador ": esto es cierto para el universo cerrado estático de Einstein, pero no para el espacio de De Sitter. La luz emitía un

t = - \infty

$t=-\infty$ cruzaría sólo la mitad del gran círculo en el momento

t \to \infty

$t\to \infty$ .

Eduardo

Un universo cerrado iluminado por sí mismo (en otras palabras, una estrella causalmente separada de cualquier otra) podría ser uno de un no infinito. de progenitores ideales de cosmologías de "génesis de universos locales en agujeros negros" como la "cosmología con torsión" de Nikodem J. Poplawski (detallada en muchos artículos suyos de 2010-2020 sobre Arxiv), a menos que tal vez esa estrella nunca han sido realmente únicos (lo que podría haber dejado a un multiverso así susceptible de colapsar bajo su propia gravitación).

Respuestas (1)

Paradoja de Olbers en un espacio cerrado

Tienes un número finito de estrellas, sí, pero emiten luz durante un tiempo infinito.
@Kostya, bueno, lo que más me desconcierta es el horizonte de causalidad. No impide que la luminosidad explote. Supongo que la contracción del espacio en el pasado está concentrando los rayos de luz de una manera que hace que la integral diverja, ¿es esa la "interpretación correcta" de este infinito?
@Kostya, su argumento no es válido: para un número finito de estrellas en un espacio cerrado , incluso si las estrellas irradian desde una cantidad infinita de tiempo, la luminosidad total en un lugar determinado y en un momento dado debe ser finito . La luz emitida en diferentes momentos simplemente llega al observador en diferentes momentos. En el caso de un espacio cerrado eterno (ie $a = \textit{cste}$ ), mi cálculo da la siguiente luminosidad: $yo = π L_{mi} {norte}_{0} a \equiv \frac{norte L_{mi}}{2 π a^{2}} .$ $\mathcal{I} = \pi \, L_\text{e} \, n_0 \, a \equiv \frac{N L_{\text{e}}}{2 \pi \, a^2}.$ dónde $N$ es el número total de estrellas en ese espacio cerrado.
La luz emitida en diferentes momentos está llegando al observador en diferentes momentos, correcto. Pero en un momento dado desde el punto de vista del observador, recibe la luz emitida desde muchos (infinitos) momentos en el pasado. Ve infinitas copias pasadas de la misma estrella.
@Kostya, estoy de acuerdo, pero parece haber un problema: la luz puede propagarse por todo el universo y regresar exactamente a su fuente antes de regresar nuevamente a la ubicación del observador. ¿Qué sucede cuando vuelve a la fuente? ¿Está bloqueado/absorbido por la fuente? Si la fuente desaparece antes de que regrese la luz, entonces reducimos la cantidad de estrellas con el tiempo. Y si la luz llega a la ubicación del observador antes de tiempo $t_0$ (antes de regresar a la fuente), luego es bloqueado por el detector del observador, en lugar de un conteo en $t < t_0$ ?
No sé por qué piensas que la luz que da varias vueltas al universo no debería ser registrada como parte de la luminosidad. Si desea introducir algo de absorción, puede formular otro problema con él. Pero por la forma en que está formulado actualmente, no puedo entender cómo la luminosidad infinita no es intuitiva para ti. Sólo de la conservación de la energía.
" La luz puede girar varias veces en el universo cerrado antes de ser detectada por el observador ": esto es cierto para el universo cerrado estático de Einstein, pero no para el espacio de De Sitter. La luz emitía un $t=-\infty$ cruzaría sólo la mitad del gran círculo en el momento $t\to \infty$ .
Un universo cerrado iluminado por sí mismo (en otras palabras, una estrella causalmente separada de cualquier otra) podría ser uno de un no infinito. de progenitores ideales de cosmologías de "génesis de universos locales en agujeros negros" como la "cosmología con torsión" de Nikodem J. Poplawski (detallada en muchos artículos suyos de 2010-2020 sobre Arxiv), a menos que tal vez esa estrella nunca han sido realmente únicos (lo que podría haber dejado a un multiverso así susceptible de colapsar bajo su propia gravitación).

AVS · Answer 1

Veo dos formas de comprender mejor esta divergencia: (1) considerando la estructura espectral de la radiación observada, (2) considerando un número finito $N$ de "estrellas falsas" distribuidas en una hiperesfera en lugar de tener un límite continuo.

Primero , veamos el contenido espectral de la radiación observada, suponiendo un límite continuo para el número de estrellas. Esto nos permite concentrarnos únicamente en el 'cuándo' se emitió la radiación ignorando el 'dónde' debido a la homogeneidad del espacio. Para simplificar, supongamos que todas las "estrellas falsas" emiten radiación monocromática (en su marco adecuado) con frecuencia $\Omega$ . Si tenemos un universo estático con $a(t)=\rm const$ con estrellas irradiando por un tiempo finito $t_\text{fin}$ con una luminosidad total constante $W$ , entonces el espectro de radiación sería $f(\omega)=W t_\text{fin}\, \delta(\omega-\Omega)$ . Si tenemos un universo en evolución con algunos $a(t)$ ese espectro sería difuminado, ya que ahora la radiación emitida en diferentes momentos sería azul o desplazada hacia el rojo, según la conocida fórmula :

\frac{ω_{ahora}}{ω_{después}} = \frac{a_{después}}{a_{ahora}} .

$\frac{\omega_\text{now}}{\omega_\text{then}}=\frac{a_\text{then}}{a_\text{now}}.$

Para simplificar aún más la situación, limitémonos a calcular el espectro solo por el momento. $t=0$ (el Gran Rebote de esta parametrización). Tenga en cuenta que, aunque el espacio de De Sitter permite reparametrizaciones que podrían hacer que en cualquier momento se produzca el Gran Rebote, no dejan invariable la población de estrellas falsas. Entonces tenemos $a_\text{now}=a_0=\ell_\Lambda$ , $\omega_\text{then}=\Omega$ y $a_\text{then}=a(t)=\ell_\Lambda \cosh(t/\ell_\Lambda)$ . Ahora también tenemos la frecuencia observada en $t=0$ en función del tiempo en que se emitió la radiación:

\begin{matrix} ((*)) & ω (t) = Ω aporrear (t / ℓ_{Λ}) \end{matrix}

$\omega(t)=\Omega \cosh(t/\ell_\Lambda)\tag{(*)}$ La energía emitida entre momentos

t

$t$ y

t + d t

$t+dt$ se desplaza al azul:

d {mi}_{ahora} = \frac{a (t)}{a_{0}} d {mi}_{después} = \frac{a (t)}{a_{0}} W d t .

$dE_\text{now}=\frac{a(t)}{a_0} dE_\text{then}=\frac{a(t)}{a_0} W \,dt .$ Esa energía también podría obtenerse del espectro de radiación.

f (ω)

$f(\omega)$ :

d {mi}_{ahora} = F (ω) d ω = F (ω (t)) \frac{d ω (t)}{d t} d t = F (ω) \frac{ω_{0}}{ℓ_{Λ}} pecado (t / ℓ_{Λ}) .

$dE_\text{now}=f(\omega)d\omega = f(\omega(t))\frac{d\omega(t)}{dt} dt=f(\omega) \frac{\omega_0}{\ell_\Lambda} \sinh(t/\ell_\Lambda).$

Igualando estas expresiones podemos obtener el espectro de radiación deseado:

F (ω) = \frac{ℓ_{Λ} W}{ω_{0} bronceado (t / ℓ_{Λ})} = \frac{ω ℓ_{Λ} W}{ω_{0} \sqrt{ω^{2} - Ω^{2}}} .

$f(\omega)=\frac{\ell_\Lambda W}{\omega_0 \tanh(t/\ell_\Lambda)}=\frac{\omega\,\ell_\Lambda W}{\omega_0 \sqrt{\omega^2-\Omega^2}}.$ Vemos que el espectro diverge en

ω = Ω

$\omega=\Omega$ , pero esto es de esperarse: corresponde a que la contracción del universo se detenga en

t = 0

$t=0$ , y la energía total en la parte finita del espectro sigue siendo finita.

Sin embargo, también vemos que el espectro $f(\omega)\to C >0$ cuando $\omega\to \infty$ . Esta es nuestra divergencia: significa que cuanto más lejos en el tiempo se emitió la radiación, más se desplaza hacia el azul y, por lo tanto, las frecuencias más altas dominan en la energía total divergente. Esta es la versión de De Sitter de la catástrofe ultravioleta .

Ahora , en segundo lugar , podríamos considerar que no solo la luminosidad total en un momento dado sino también el número de estrellas debería ser finito. Si asumimos que hay $N$ estrellas puntuales en el universo, repartidas por la hiperesfera, podríamos, en principio, calcular para cualquier momento dado y cualquier punto dado cuándo se emitió la radiación observada actualmente desde una estrella dada. Y así, el OP tenía razón en su comentario:

para un número finito de estrellas en un espacio cerrado, incluso si las estrellas irradian desde una cantidad de tiempo infinita, la luminosidad total en un lugar dado y en un momento dado debería ser finita.

La mayor parte de esto es el calificador faltante "hasta un conjunto de medida cero". De hecho, para casi todos los puntos, los momentos en que las estrellas emiten la radiación que se observa actualmente serían finitos y, por lo tanto, el desplazamiento hacia el azul de los espectros de cada estrella solo podría producir una luminosidad total finita. Sin embargo, si mantenemos el tiempo constante (digamos $t=0$ ) y varían el punto para tal cálculo, habría puntos en los que la luminosidad observada sería arbitrariamente grande, y habría puntos en los que divergiría. Estos son los puntos en los que el cono de luz pasado contiene una de las estrellas en el infinito. Y, por supuesto, la cantidad total de energía integrada en la sección $t=\rm const$ sería divergente.

Para $t=0$ este conjunto de medida cero es bastante simple de construir. Dado que la luz emitida en $t=-\infty$ habría viajado exactamente $\pi/2$ ángulo en la hiperesfera por el momento $t=0$ , entonces para cualquier estrella dada tendríamos un gran círculo equidistante de la estrella. Y así este conjunto es simplemente una unión de $N$ tales círculos. En otras ocasiones, este conjunto de infinitos desplazamientos hacia el azul sería un conjunto de círculos (ya no grandes) con centros en las estrellas.

Sería interesante ilustrar este razonamiento combinando el primer y el segundo enfoque y producir un "cielo nocturno" simulado que muestre una muestra de estrellas con colores y brillo que indiquen cambios de espectro y luminosidades.

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