Dos observadores de Robertson-Walker, ¿a qué hora se recibirá una señal luminosa?

Aunque la era dominada por la radiación (RD) es larga en comparación con la era dominada por la materia (MD) y$\Lambda$-dominado ($\Lambda$D) eras, es bueno tener una respuesta que se pueda adaptar fácilmente para cualquier era cosmológica. Si asumimos que el Universo está permeado por un fluido perfecto, podemos usar la ecuación de estado

dónde$P$es la presión y$\rho$la densidad de energía. Las dos ecuaciones de Friedmann (o la conservación del tensor tensión-energía$\nabla_{\mu} T^{\mu \nu}=0$) danos

que se puede resolver para$\rho$en términos del factor de escala$a(t)$como

dónde$a_0$es el factor de escala hoy (y estableceremos$a_0 = 1$de ahora en adelante) y$\rho_0$es la densidad de energía total del Universo hoy. Reemplazando esto nuevamente en la primera ecuación de Friedmann, se obtiene$a(t)$como

dónde$A$es una horrible constante que he calculado que es$A = (8 \pi G/3)^{1/3(1+w)}$y he asumido que en algún 'momento inicial'$t_i = 0$, el valor del factor de escala fue$a_i = 0$.

Ahora consideramos el fotón. Como en mi respuesta aquí , el fotón sigue una geodésica radial en el espacio-tiempo FRW. En un Universo plano como usted especificó, tenemos

por un fotón. Podemos definir un origen$(0,0,0)$y desde allí enviar un fotón a cualquier punto a distancia radial$r = x$. Usted especificó$(x,0,0)$pero como el Universo es homogéneo e isótropo , cualquiera de esos puntos dará la misma respuesta. Usando el elemento de línea de fotones, esto es

Ahora usamos la expresión para$a(t)$en términos de$t$y$w$que derivamos anteriormente, evalúe las integrales en términos de$x$y$t$, y establecer$T_1 = 0$para que podamos ver lo que está pasando, llegando a

con el valor antes indicado de$A$.

era RD ($w = 1/3$): Sustituyendo este valor de$w$encontramos

así que dada una cantidad infinita de tiempo, podemos enviar una señal al infinito.

era MD ($w = 0$): Sustituyendo este valor de$w$encontramos

así que nuevamente podemos enviar una señal al infinito pero tomará$O(x)$más tiempo que en la era RD. Esto se debe a que el Universo se está expandiendo más rápido, ya que$a(t) \propto t^{2/3}$en vez de$a(t) \propto t^{1/2}$en la era RD.

$\Lambda$D era ($w \rightarrow -1$): Para este caso es mejor escribir$x$en términos de$a$, en cuyo caso obtenemos

¡Esto significa que a medida que el Universo crece en el régimen de energía oscura, su expansión se acelera de tal manera que la región sobre la que podemos comunicarnos se encoge! Si enviamos un fotón ahora, la distancia máxima que puede alcanzar en un tiempo infinito será mayor que si enviamos un fotón mañana. Este es el fenómeno de la reducción de la esfera de Hubble y significa que si el Universo continúa dominado por la energía oscura como lo está ahora, entonces el Universo observable se reducirá hasta que podamos ver solo los objetos astronómicos más cercanos.

En la aproximación de la óptica geométrica, el rayo de luz está representado por una geodésica nula. Por lo tanto, solo necesita encontrar puntos de conexión geodésicos nulos$(t_0,0,0,0)$y$(t_1,x,0,0)$para algunos$t_1$(y esta condición determinará$t_1$únicamente). Esto es probablemente bastante fácil de hacer directamente en este caso, pero en general para la investigación de curvas nulas en FLRW espaciotiempo tiempo conforme definido por$\mathrm d \eta = \frac{\mathrm d T}{a(T)}$(con$a(T)=T^{1/2}$en su caso) es especialmente conveniente.

Por lo tanto, debe calcular el futuro cono de luz.

En coordenadas de comovimiento, divide eso por el factor de escala del tiempo en la absorción

con H como parámetro de Hubble

y c la velocidad de la luz, t0 el tiempo de emisión y t1 el tiempo de absorción.

Si descuida la densidad de radiación, puede usar

lo que simplifica un poco la ecuación y da buenas aproximaciones si no retrocedes demasiado en el tiempo, pero el cono de luz seguirá siendo una integral sin una función inversa explícita.

Esto conduce a un cálculo numérico sin solución analítica. El cálculo exacto es un poco largo si se tiene en cuenta la materia, la energía oscura y la radiación, así que perdonen que no traduciré todo a Latex.

Si tomo los parámetros cosmológicos de la misión Planck y calculo, por ejemplo, cuánto tardará un fotón en viajar a una distancia que ahora se encuentra a 1 Gigaaño luz de distancia, la luz tardará 1.036 Gigaaños en llegar allí. Si la distancia es de 10 giga años luz hoy, la luz tardará 15,736 giga años hasta llegar a esa coordenada móvil:

Dado que el parámetro de Hubble evoluciona con el tiempo, no solo depende de la distancia sino también del tiempo en que se emite el fotón.

Desafortunadamente, todo esto debe resolverse numéricamente, por lo que no puedo darle una solución explícita para$t_1(LC_{comoving})$, pero al menos puedo mostrarte cómo resolver esa solución con una computadora.

Sin embargo, espero que esto ayude, si algo no está claro con el código, no dude en preguntar. Tal vez también ayude ver los diagramas de espacio-tiempo aquí y aquí .