¿Puede existir un oscilador armónico con acoplamiento asimétrico?

Para este sistema físico particular, los términos$\kappa\,(x_2-x_1)$y$-\zeta\,(x_2-x_1)$son (1) la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1 y (2) la ejercida por 1 sobre 2. Las fuerzas deben ser iguales y opuestas, por Newton III, por lo tanto debemos tener$\kappa=\zeta$. Los dos términos describen la tensión en el mismo resorte ( es decir, el del medio en su diagrama), que es otra forma de ver que las constantes deben ser iguales.

Por supuesto, las dos constantes de resorte para los resortes exteriores pueden ser diferentes, aunque las tenga iguales (para$k$) en sus ecuaciones.

No si queremos que la mecánica lagrangiana sea cierta. El sistema consta de resortes, por lo que el potencial es una función cuadrática de$x_1,x_2$. Entonces podemos escribir:

$L = \frac{1}{2}(m_1\dot{x_1}^2+m_2\dot{x_2}^2)+\frac{1}{2}(ax_1^2+2bx_1x_2+x_2^2)$

Esto da ecuaciones de movimiento:

$m_1\ddot{x_1}+ax_1+bx_2=0$

$m_2\ddot{x_2}+cx_2+bx_1=0$

Es un poco más agradable reescribir esto como:

$m_1\ddot{x_1}+(a+b)x_1+b(x_2-x_1)=0$

$m_2\ddot{x_2}+(c+b)x_1-b(x_2-x_1)=0$

Que es exactamente lo que son sus ecuaciones, pero donde vemos que$\kappa = \zeta=b$. Entonces, la acción mínima nos obliga a igualar los acoplamientos.