¿Por qué el período de tiempo de un péndulo con un resorte de fuerza constante kkk y una lenteja de masa significativa mmm es el mismo en la Luna que en la Tierra?

Tenga en cuenta que la masa$m$y la constante del resorte$k$son los mismos en la tierra que en la luna. En consecuencia, el período de tiempo del resorte no depende de las diferencias debidas a la aceleración de la gravedad. Por lo tanto, no cambiará cuando sea llevado a la luna.

Creo que el valor de 𝑘 para un resorte colgado boca abajo depende de la atracción gravitatoria

No. Es una constante. El argumento matemático que proporcionó contiene muchos errores, pero baste decir que el período de un resorte cargado no será diferente.

Lo único que diferirá es la posición de equilibrio de la masa, en cuyo caso estará más arriba en la Luna.

Para ilustrar la independencia del valor del campo gravitatorio, se podría instalar el sistema de masa de resorte en una mesa horizontal y, sin fricción presente, el período de oscilación seguiría siendo$2\pi \sqrt{\frac mk}$siempre que el resorte pueda sufrir compresión y extensión.

La razón de esta independencia es que la fuerza restauradora,$F$, depende del desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio, sin que actúe ninguna fuerza neta sobre ella, que no es función del campo gravitatorio y de la masa$m$, tampoco depende del campo gravitatorio, por lo que la aceleración de la masa$a=\frac Fm$es independiente del campo gravitatorio.

El$l$y$g$La relación que parece mostrar la dependencia del período de la fuerza del campo gravitacional no muestra esto porque$l$y$g$no son independientes entre sí siendo del agrado de la ecuación$kl=mg$, así que un$g$aumenta también$l$en la misma proporción.

... tenemos que la fuerza restauradora en el resorte depende linealmente del desplazamiento.

$$F(x) = -k(x) \\ k = \frac{-F(x)}{x}$$

Este cálculo de la fuerza es incorrecto.

En realidad la fuerza ($F$) tiene dos partes:

• La fuerza restauradora del resorte ($-kx$) que es proporcional al desplazamiento actual ($x$). y la constante del resorte$k$sigue siendo una constante.
• La fuerza gravitacional ($mg$) que es independiente del desplazamiento actual ($x$)

Entonces tenemos la fuerza total

$$F=-kx+mg. \tag{1}$$

De acuerdo con la segunda ley de Newton ($m\ddot{x}=F$) obtenemos la ecuación de movimiento

$$m\ddot{x}=-kx+mg. \tag{2}$$

Se puede encontrar que la solución más general de (2) es

$$x(t)=\frac{mg}{k}+A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\ t+\phi\right) \tag{3}$$ dónde$A$(la amplitud) y$\phi$(la fase inicial) son constantes arbitrarias. Puede verificar la corrección de esta solución insertándola en la ecuación diferencial (2).

De la solución (3) ves dos características.

• El período de oscilación$T$se puede determinar a partir de$\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$. De este modo$T$es independiente de$g$.
• El desplazamiento de equilibrio es$\frac{mg}{k}$. pues depende de$g$. En la luna es más pequeño que en la tierra.