Solución general de un sistema masa resorte

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Solución general de un sistema masa resorte

primavera
Física
fricción
osciladores
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

Stan

Esta es la ecuación diferencial que describe las oscilaciones verticales de pequeña amplitud de una masa. $m$ que cuelga de un resorte

\frac{d^{2} X}{d t^{2}} + \frac{b}{metro} \frac{d X}{d t} + \frac{k}{metro} X = 0

$\frac{d^2x}{d t^{2}} + \frac{b}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = 0$ Dónde

x

$x$ se define como el desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio,

b

$b$ es la constante de amortiguamiento,

t

$t$ es tiempo y

k

$k$ es la constante del resorte.

Quiero encontrar una solución general para el caso en el que se produce una pequeña amortiguación. Entiendo que esto es cuando la constante de amortiguamiento $b^2 < 4\,\mathrm{km}$ pero no estoy seguro de cómo encontrar una solución general. ¿Qué tipo de herramientas matemáticas necesitaría para encontrar la solución? ¿Me ayudarían estas herramientas a encontrar una solución general si hubiera un gran amortiguamiento o incluso un amortiguamiento crítico?

Ernie

hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html

Stan

Hola Ernie, he visto ese ejemplo sobre hiperfísica y, aunque tiene un ejemplo de cómo encontrar la solución general, mi ecuación es ligeramente diferente y no puedo resolverla ni siquiera con el método de sustitución.

Respuestas (1)

Solución general de un sistema masa resorte

Hola Ernie, he visto ese ejemplo sobre hiperfísica y, aunque tiene un ejemplo de cómo encontrar la solución general, mi ecuación es ligeramente diferente y no puedo resolverla ni siquiera con el método de sustitución.

Sourav Kanta · Answer 1

Sustituto $x$ por $A(e^{wt})$ .

Por lo tanto, su ecuación se convierte en:

A (w^{2}) ({mi}^{w t}) + A (\frac{b}{metro}) (w) ({mi}^{w t}) + (\frac{k}{metro}) (A) ({mi}^{w t}) = 0

$A(w^2)(e^{wt})+A(\frac{b}{m})(w)(e^{wt})+(\frac{k}{m})(A)(e^{wt})=0$

Simplificando:

(w^{2}) + (\frac{b}{metro}) (w) + (\frac{k}{metro}) = 0

$(w^2) + (\frac{b}{m})(w) + (\frac{k}{m})=0$

Descubre las raíces. Aquí entiendes que $(b^2)<=4km$ para valores reales de $w$ .

Deja que las raíces sean $w_1$ y $w_2$

Finalmente su solución a la ecuación diferencial es:

Caso 1: $w_1$ y $w_2$ son distintos:

X (t) = A ({mi}^{w_{1} t}) + B ({mi}^{w_{2} t})

$x(t) = A (e^{w_1t})+B (e^{w_2t})$ dónde

A

$A$ y

B

$B$ son constantes arbitrarias.

Caso 2: $w_1$ y $w_2$ Son identicos:

X (t) = A ({mi}^{w_{1} t}) + B t ({mi}^{w_{1} t})

$x(t) = A (e^{w_1t}) + B t (e^{w_1t})$ dónde

A

$A$ y

B

$B$ son constantes arbitrarias.

Solución general de un sistema masa resorte

Stan

Ernie

Stan

Respuestas (1)

Sourav Kanta

Movimiento armónico simple para masa unida a un resorte vertical

Coeficiente de amortiguamiento y relación de amortiguamiento [duplicado]

Posición de dos bloques unidos por un resorte en función del tiempo

Condiciones iniciales de movimiento armónico amortiguado

Bloque unido a un resorte que oscila sobre una superficie con fricción

Péndulo amortiguado (generalizado)

Solución a largo plazo para un oscilador armónico impulsado

¿Cuál es el significado de sujetar el centro del resorte?

¿Cómo puedo derivar la solución del oscilador armónico subamortiguado?

¿Cuál es la fuerza mínima requerida para mover este bloque?