Transferencia de energía entre osciladores acoplados

Este problema sobre la transferencia de energía entre osciladores acoplados es de Introducción a la mecánica de Kleppner y Kolenkow.

Pregunta

Considere nuevamente el sistema de dos péndulo y resorte que acabamos de analizar. Suponga que uno de los péndulos, llamado péndulo 1, se desplaza al ángulo θ 0 y liberado en t = 0 . Inicialmente, toda la energía del sistema está en el péndulo 1. El problema es ver qué sucede con la energía a medida que pasa el tiempo.

Resultado

θ 1 ( t ) = ( θ 0 / 2 ) [ porque ⁡ ( ω + t ) + porque ⁡ ( ω − t ) ] θ 2 ( t ) = ( θ 0 / 2 ) [ − porque ⁡ ( θ + t ) + porque ⁡ ( θ − t ) ] .

Podemos escribir esto en una forma más simétrica introduciendo la frecuencia promedio ω ¯ = ( ω + + ω − ) / 2 , y la diferencia de frecuencia d = ( ω + − ω − ) / 2 , de modo que ω + = ω ¯ + d , ω − = ω ¯ − d . usando la identidad

porque ⁡ ( A + B ) = porque ⁡ A porque ⁡ B − pecado ⁡ A pecado ⁡ B ,
podemos escribir las ecuaciones anteriores como
θ 1 ( t ) = θ 0 porque ⁡ ( d t ) porque ⁡ ( ω ¯ t ) θ 2 ( t ) = θ 0 pecado ⁡ ( d t ) porque ⁡ ( ω ¯ t ) .

Evaluación

El sistema oscila a una frecuencia promedio ω − , pero la amplitud de la oscilación oscila lentamente entre los dos péndulos a una frecuencia d . Inicialmente la energía está en el péndulo 1, pero cuando d t = π / X , la energía se ha transferido al péndulo 2. La energía finalmente regresa al péndulo 1. A medida que disminuye el acoplamiento, d se hace más pequeña y la energía tarda más en transferirse. No obstante, llegará allí eventualmente.

Las partes donde me confundí:

  1. En primer lugar, creo que debería ser θ 2 ( t ) = θ 0 pecado ⁡ ( d t ) pecado ⁡ ( ω ¯ t ) .

  2. En segundo lugar, tengo dificultades para comprender la parte de evaluación. ¿Cómo podría el resultado decirnos que la frecuencia promedio es ω ¯ , y la amplitud de la oscilación oscila lentamente entre los dos péndulos a una frecuencia d ?

  3. Qué es X en d t = π / X ? No se menciona en ninguna parte, lo que me hizo pensar que debe ser d t = π / 2 , pero no estoy seguro de ello.

" ω − = ( ω + + ω − ) / 2 "¿Es esa la notación del libro? Eso es simplemente terrible. Y en "Resultado", debería ser " θ 1 ( t ) = θ 0 [ C o s ( ω + t ) + C o s ( ω − t ) ] / 2 ?
Muchas gracias. Fue mi error, no el del libro.
Eche un vistazo a mi edición para que pueda ver cómo hacer que las matemáticas se vean bien.

Respuestas (1)

1) Sí, tienes razón, pero realmente no hace mucha diferencia: el seno y el coseno son más o menos lo mismo, con uno solo desplazado por una fase del otro.

2) Están asumiendo que las dos frecuencias están cerca, entonces ω ¯ también está cerca de ellos y en algún punto intermedio, pero d ya que la diferencia de dos cantidades casi iguales es mucho menor. Entonces escuchas una onda de frecuencia ω ¯ pero la onda no es de amplitud constante: es "modulada" por la porque ⁡ d t factor y escucha una variación (relativamente) lenta en el volumen. Si toma dos diapasones con la misma frecuencia y envuelve una banda elástica alrededor de la pata de uno para cambiar su frecuencia solo un poco, puede hacer que vibren y sostenerlos cerca de su oído. Luego puede escuchar la onda en la frecuencia básica, pero el volumen subirá y bajará con relativa lentitud (el fenómeno se llama latidos y se usó cuando se fabricaban diapasones: uno era un estándar y el otro se modificaba hasta que no se producían latidos). También se usa para afinar instrumentos musicales: cuando no hay tiempos (es decir, d = 0 ), los dos instrumentos están exactamente afinados).

Entonces tienes una oscilación lenta superpuesta a una rápida:

ingrese la descripción de la imagen aquí

(Obtuve la imagen del artículo anterior en Wikipedia, por lo que la notación no es la misma, pero debería ser lo suficientemente claro: lo que llaman π F S es lo que llamas d y como se llaman 2 π F R es lo que llamas ω ¯ ).

3) Note entonces cuando porque ⁡ d t es 0 entonces pecado ⁡ d t es máximo (o mínimo) y viceversa. entonces en t = 0 la amplitud del primer péndulo es máxima y la amplitud del segundo es 0 (porque en t = 0 , porque ⁡ d t = 1 , pecado ⁡ d t = 0 ). Pero tiempo después, cuando d t = π 2 , el coseno es 0 y el seno es máximo (en valor absoluto). En ese momento, la amplitud del primer péndulo es 0 y la amplitud del segundo es máxima. En el medio, una amplitud aumenta mientras que la otra disminuye y la energía se mueve de un lado a otro entre los dos péndulos (¿péndulo?). Eso no es tan fácil de ver con diapasones, pero es fácil de ver con un slinky para proporcionar el acoplamiento débil y un par de latas de sopa suspendidas con cuerdas (ver "Waves" de Crawford en la serie Berkeley Physics de la década de 1960: incluye un montón de fascinantes "experimentos caseros" en el libro). Hay videos de YouTube que ilustran esto si no desea configurar su propio experimento.

Y tenías razón sobre X .

Transferencia de energía entre osciladores acoplados
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 2v