Posición de dos bloques unidos por un resorte en función del tiempo

Question

Posición de dos bloques unidos por un resorte en función del tiempo

primavera
Física
osciladores
oscilador armónico
mecanica-newtoniana
deberes-y-ejercicios

Perno1954

Dos bloques A y B están conectados por un resorte de constante elástica $k$ . $A$ se le imparte una velocidad inicial $u$ hacia la derecha a lo largo del eje x positivo. Si $B$ se fijaron entonces el movimiento de $A$ podría describirse usando una ecuación de movimiento armónico simple $x=\sqrt{\frac{m}{k}}u\sin(\omega t)$ . Pero aquí $B$ no está fijo y puede moverse libremente sobre la superficie sin fricción. Entonces, mientras que la velocidad de $A$ reduce, la velocidad de $B$ aumenta Entonces, ¿cómo podemos encontrar la posición de $A$ y $B$ en función del tiempo en esta situación?

MI INTENTO :

metro tu - k X d t = metro v_{A}

$mu-kx dt = mv_{A}$

k X = metro v_{B}

$kx=mv_{B}$

\frac{1}{2} metro {tu}^{2} = \frac{1}{2} k X^{2} + \frac{1}{2} metro v_{A}^{2} + \frac{1}{2} metro v_{B}^{2}

$\frac{1}{2}mu^2=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2_{A}+\frac{1}{2}mv^2_{B}$

( $x$ es la compresión del resorte en cualquier momento $t$ )

Pero después de esto no sé cómo encontrar la posición de $A$ y $B$ .

Tenga en cuenta que hasta ahora solo he estudiado Mecánica Newtoniana y Movimiento Armónico Simple. Así que no uses conceptos de muy alto nivel. Además, hágame saber si he violado alguna política de tareas. Leí la política de preguntas sobre la tarea y luego escribí esta pregunta. Espero que no aparezca como una pregunta de tarea. Aún así, si es así, avíseme si puedo editarlo de alguna manera. Se agradecen sugerencias y sugerencias.

Respuestas (2)

Posición de dos bloques unidos por un resorte en función del tiempo

jim haddocc · Answer 1

En esta pregunta, es muy fácil si cambiamos al marco del centro de masa (COM) (si no sabe acerca de COM, vaya y lea sobre él y luego continúe leyendo).

La velocidad de la trama COM es

v_{C metro} = \frac{metro {tu}_{a} + metro {tu}_{b}}{metro + metro} = \frac{{tu}_{a} + {tu}_{b}}{2} = \frac{tu}{2}

$v_{cm}=\frac{mu_a + mu_b}{m+m}= \frac{u_a + u_b}{2} = \frac{u}{2}$ Como no hay fuerzas externas,

v_{c m}

$v_{cm}$ es constante
Deje que las velocidades de

A

$A$ y

B

$B$ en el centro del marco de masa ser

v_{a}

$v_a$ y

v_{b}

$v_b$ . De este modo,

v_{a} = {tu}_{a} - v_{C metro} = \frac{{tu}_{a} - {tu}_{b}}{2}

$v_a = u_a-v_{cm}= \frac{u_a-u_b}{2}$

v_{b} = {tu}_{b} - v_{C metro} = \frac{{tu}_{b} - {tu}_{a}}{2}

$v_b = u_b-v_{cm}= \frac{u_b-u_a}{2}$ Esto significa que

v_{a} = - v_{b}

$v_a=-v_b$ , que es maravilloso! Si lo observa durante un rato, se dará cuenta de que esto significa que los cuerpos oscilan en fase y que sus desplazamientos son iguales y opuestos en el marco COM. Así es como se vería: Ahora, supongamos que las posiciones de

A

$A$ y

B

$B$ en el marco COM son:

X_{a} = - α pecado (ω t)

$x_a= -\alpha \sin(\omega t)$

X_{b} = α pecado (ω t)

$x_b= \alpha \sin(\omega t)$ Escribiendo la ecuación de fuerza en el COM,

metro {\ddot{X}}_{a} = - k (X_{a} - X_{b})

$m\ddot x_a = -k(x_a-x_b)$

⟹ metro ω^{2} α pecado (ω t) = 2 k α pecado (ω t)

$\Longrightarrow m\omega^2 \alpha \sin(\omega t)= 2k\alpha \sin(\omega t)$

⟹ ω = \sqrt{\frac{2 k}{metro}}

$\Longrightarrow \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$

Ahora, tratemos de encontrar

α

$\alpha$ aplicando la conservación de la energía en el marco de reposo. La extensión máxima en el resorte es

2 α

$2\alpha$ lo que sucede cuando las velocidades de A y B son iguales a

\frac{u}{2}

$\frac{u}{2}$ (es decir, están en reposo en el marco COM). Aplicando la conservación de la energía, obtenemos

\frac{k (2 α)^{2}}{2} + 2 \frac{metro v_{C metro}^{2}}{2} = \frac{metro {tu}^{2}}{2}

$\frac{k(2\alpha)^2}{2} + 2\frac{mv_{cm}^2}{2}=\frac{mu^2}{2}$

⟹ 2 k α^{2} = \frac{metro {tu}^{2}}{4}

$\Longrightarrow 2k\alpha^2 = \frac{mu^2}{4}$

⟹ α = \frac{tu}{2} \sqrt{\frac{metro}{2 k}}

$\Longrightarrow \alpha = \frac{u}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$
Ahora, la posición del centro de masa está dada por

x_{c m} = v_{c m} t = \frac{u t}{2}

$x_{cm} =v_{cm}t=\frac{u t}{2}$ . Así, la posición de A y B son:

X_{a} (t) = \frac{tu t}{2} - α pecado (ω t)

$X_a(t)= \frac{u t}{2} -\alpha \sin(\omega t)$

X_{b} (t) = \frac{tu t}{2} + α pecado (ω t)

$X_b(t)= \frac{u t}{2} + \alpha \sin(\omega t)$ Dónde

ω = \sqrt{\frac{2 k}{metro}}

$\omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$

α = \frac{tu}{2} \sqrt{\frac{metro}{2 k}}

$\alpha = \frac{u}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$

Jens · Answer 2

Como no actúan fuerzas externas sobre el sistema de dos masas, la cantidad de movimiento total m(Va+Vb) es constante en el tiempo y esta es la ecuación que falta. Además, la energía potencial y cinética total del sistema k (Xb-Xa) ^ 2/2 + m (Va ^ 2 + Vb ^ 2) / 2 permanece constante como ha demostrado en su última ecuación, donde parece que ha asumido Vb = Vb0 = 0 en t = 0. Además, el centro de masa del sistema se mueve a la velocidad constante V = (Va+Vb)/2, por lo que (Xb + Xa)/2 = Xb0/2 + Vt. Por lo tanto, sus ecuaciones no están del todo completas y la primera probablemente tenga un error tipográfico . Si se vuelve a hacer, la respuesta correcta no es difícil de calcular en función de las velocidades de inicio dadas y las posiciones de ambas masas, pero usando su intuición puede deducir un movimiento oscilatorio simétrico sobre el centro de masa que se mueve con velocidad constante V.

Posición de dos bloques unidos por un resorte en función del tiempo

Perno1954

Respuestas (2)

jim haddocc

Jens

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