¿Por qué la aceleración ggg debida a la gravedad no afecta el período de un resorte montado verticalmente?

El efecto de la gravedad es solo cambiar el punto de equilibrio, por lo que en el equilibrio (en reposo), un resorte vertical se extenderá en comparación con el mismo resorte en una posición horizontal. Pero esto no afecta el período.

La ecuación para la dinámica del resorte es$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx+mg$. Puedes cambiar la variable$x$a$x'=x+mg/k$y obten$m\frac{d^2x'}{dt^2}=-kx'$. Entonces, la dinámica es equivalente a la de un resorte con la misma constante pero con el punto de equilibrio desplazado una distancia$mg/k$

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cuando reemplazas$x$en tu ecuacion tienes$x=x'-mg/k$entonces obtienes$m\frac{d^2(x'-mg/k)}{dt^2}=-k(x'-mg/k)+mg$

En el lado izquierdo tienes$m\frac{d^2(x'-mg/k)}{dt^2}=m\frac{d^2x'}{dt^2}$porque la derivada de una constante ($mg/k$) es cero, y en el lado derecho obtienes$-kx'$después de distribuir.

Basta con mirar la ecuación de movimiento.

Suponga que cuelga un resorte del techo y que cuelga a una distancia$y_0$desde el techo en equilibrio (orientamos nuestro eje de modo que positivo$y$apunta hacia abajo). Entonces, la ecuación de movimiento es

El período de oscilación depende de la fuerza restauradora y de la inercia (masa) que oscila.

La gravedad es una fuerza constante. Cuando la masa está en su posición de equilibrio, esta fuerza se equilibra con la fuerza del resorte. Cuando la masa se aleja del equilibrio, la fuerza de la gravedad no cambia, solo cambia la fuerza del resorte. La fuerza de restauración es causada solo por la fuerza del resorte.

Aunque la gravedad afecta cuál será la extensión de equilibrio, no es la fuerza restauradora, por lo que no afecta el período de oscilación de una masa en un resorte.

Sin embargo, la gravedad afecta el período de un péndulo. La fuerza gravitatoria sobre la masa del péndulo es constante e independiente del desplazamiento, pero el momento de esta fuerza, que hace que la cuerda del péndulo gire hacia la posición de equilibrio, no es constante. Aumenta con el desplazamiento angular. El momento de restauración (torque) depende de la gravedad, por lo que la gravedad afecta el período de un péndulo.

Cuando colgamos un péndulo de resorte, la fuerza neta sobre ese péndulo es cero, es decir, una fuerza es la gravedad y otra fuerza es contra la gravedad. Entonces, podemos establecer que el péndulo está en equilibrio porque la fuerza neta es cero ahora si aplicamos una fuerza externa a péndulo entonces se desplaza Por algún desplazamiento y SHM comenzará.

No vi esta respuesta, así que la incluiría para completarla.

Entonces, los tres parámetros básicos en el trabajo aquí son masa con unidad$\text{kg}$, aceleración gravitacional con unidad$\text{m}/\text{s}^2$, y una constante de resorte con unidad$\text{kg}/\text{s}^2$.

El análisis dimensional establece que solo puede alimentar una función matemática arbitraria con una expresión que no tiene unidades; encuentra todas las formas de combinar sus parámetros base en parámetros sin unidades$\beta_{1,2,\dots}$y luego cualquier otra cantidad que desee calcular debe tomar la forma$\alpha~f(\beta_1,\beta_2,\dots)$en general, donde$\alpha$es alguna combinación de los parámetros originales que tiene las unidades correctas.

No hay formas de ensamblar ningún parámetro interesante sin unidades arriba, por lo que$f$debe ser una constante, y los únicos tiempos deben ser todos expresables como$f~\sqrt{m/k}$para algún número constante sin unidades$f$. Cualquier otra cosa simplemente no tendría unidades de tiempo, o tomaría una función arbitraria de un parámetro portador de unidades.

Para profundizar un poco en el problema, no sabemos si la gravedad tiene un efecto sobre el período o no. Claramente, para cada situación que se ha probado, no hay diferencia, pero el "principio de equivalencia" no se ha probado en todos los regímenes, todavía hay un pequeño margen de maniobra. Esencialmente, no tenemos una prueba de que la "m" en F=ma sea la misma "m" que la de G=m1m2/r^2, por lo que es posible que diferentes objetos de masa puedan caer en ( muy levemente) diferentes aceleraciones en un campo gravitacional dado.

Esta es física "real", pero marginal, así que no la cites en un examen ;)