¿Cómo formular principios variacionales (Lagrangianos/Hamiltonianos) para problemas no lineales, disipativos o de valor inicial?

Question

¿Cómo formular principios variacionales (Lagrangianos/Hamiltonianos) para problemas no lineales, disipativos o de valor inicial?

Física
potencial
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
principio variacional

Ron

Aunque esta pregunta está muy relacionada con las matemáticas, la publiqué en Física ya que está relacionada con los principios variacionales (Lagrangianos/Hamiltonianos) para sistemas dinámicos. Si debo migrar esto a otro lugar, por favor dígame.

Muchas veces, en cursos de pregrado y posgrado, se nos dice que solo podemos formular el Lagrangiano (y el Hamiltoniano) para sistemas "potenciales", donde en la dinámica se cumple la condición de que:

metro \ddot{X} = - \nabla V

$m\ddot{\mathbf{x}}=-\nabla V$ Si esto es cierto, podemos formular un funcional que es estacionario con respecto al sistema como:

F [X] = \int_{0}^{t} (\frac{1}{2} metro \dot{X} (τ)^{2} - V (X (τ))) d τ

$F[\mathbf{x}]=\int^{t}_0\left(\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{x}}(\tau)^2-V(\mathbf{x}(\tau))\right)\,\text{d}\tau$

Tomando la primera variación de este funcional se obtiene la dinámica del sistema, junto con una condición que establece efectivamente que la configuración inicial debe ser similar a la configuración final (la variación en los límites es cero).

Ahora, dado el funcional:

F [X] = \frac{1}{2} [X^{T} * D (X)] + \frac{1}{2} [X^{T} * A X] - \frac{1}{2} X^{'} (0) X (t)

$F[\mathbf{x}]=\frac{1}{2}[\mathbf{x}^{\text{T}} * D(\mathbf{x})]+\frac{1}{2}[\mathbf{x}^{\text{T}} * \mathbf{Ax}]-\frac{1}{2}\mathbf{x}'(0)\mathbf{x}(t)$ Con

A

$\mathbf{A}$ simétrico y

x (0)

$\mathbf{x}(0)$ siendo la condición inicial, y:

[F^{T} * gramo] = \int_{0}^{t} F^{T} (t - τ) gramo (τ) d τ

$[\mathbf{f}^{\text{T}} * \mathbf{g}]=\int^{t}_0 \mathbf{f}^{\text{T}}(t-\tau)\mathbf{g}(\tau)\,\text{d}\tau$

Si tomamos la primera variación y asumimos solo que la variación inicial es cero, el funcional es estacionario con respecto a:

\frac{d X (t)}{d t} = A X (t)

$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}= \mathbf{Ax}(t)$

Este es un funcional derivado de Tonti y Gurtin, representa un principio variacional para problemas lineales de valor inicial con matrices de estado simétricas y muestra, como prueba de concepto, que se pueden derivar funcionales para sistemas no potenciales, de valor inicial o sistemas disipativos.

Mi pregunta es, ¿es posible derivar estos funcionales para sistemas no lineales arbitrarios que no tienen configuraciones iniciales y finales similares (y no pueden tener configuraciones iniciales y finales similares debido a la disipación)?

¿Qué tipo de condiciones existirían en la dinámica de estos sistemas?

En este ejemplo, $\mathbf{A}$ debe ser simétrico, lo que ya implica que todos sus valores propios son reales y, por lo tanto, es un sistema no potencial, pero aún hay un funcional que se puede derivar para él.

Se agradecería cualquier fuente relacionada, información o respuestas con respecto a casos específicos. Si alguien necesita una aclaración o una prueba de cualquier resultado que presenté aquí, hágamelo saber.

Editar : Además, una pregunta relacionada para cualquiera que vea esto: actualmente solo estoy interesado en el aspecto abstracto del problema (resolverlo/investigarlo por el simple hecho de hacerlo), pero ¿por qué son útiles las representaciones funcionales como estas? Sé que hay algunas aplicaciones numéricas, pero si tengo un funcional que alcanza un mínimo para un determinado sistema, ¿qué puedo hacer con él?

una mente curiosa

La fricción y la disipación no son variables, consulte, por ejemplo, esta publicación . Hay formulaciones "lagrangianas" para las fuerzas disipativas, pero no obedecen a un principio ingenuo de acción mínima, consulte esta publicación y este documento

Ron

@ACuriousMind: revisaré las publicaciones y el documento al que se vinculó, no estoy seguro de lo que quiere decir todavía, pero volveré al final de hoy para responder con más especificidad. Además, otra cosa que quiero mencionar: Rayleigh tiene un método para lidiar con la disipación y el forzamiento externo, pero estoy buscando específicamente una formulación autónoma sin función de disipación necesaria, solo una funcional.

una mente curiosa

La primera publicación que vinculé muestra un método general para decidir si existe una descripción lagrangiana para un sistema dado por ecuaciones diferenciales. Es definitivo: no existe una descripción lagrangiana de la fuerza disipativa genérica (aunque es posible que pueda hacer trampa en situaciones específicas). El artículo analiza cómo se puede establecer una "descripción lagrangiana extendida" cuyo lagrangiano no sea la suma de los potenciales y las energías cinéticas para modelar las fuerzas disipativas.

Ron

@ACuriousMind: No estoy necesariamente buscando un Lagrangiano, estoy haciendo una pregunta más general sobre la existencia de CUALQUIER funcional que pueda ser estacionario con respecto a CUALQUIER sistema. La otra pregunta relacionada puede ser: ¿cuándo puedes "hacer trampa" y por qué? ¿Qué tipo de condiciones existen en los sistemas en los que puede "hacer trampa"?

una mente curiosa

Como escribe Qmechanic: "Esto abre muchas posibilidades, y puede ser muy difícil encontrar sistemáticamente un principio de acción o, por el contrario, probar un teorema de no-go de que un conjunto dado de eoms no es variacional". Creo que no tenemos una respuesta a su pregunta en tal generalidad.

Ron

@ACuriousMind: No veo el comentario de Qmechanic por alguna razón, pero entiendo lo que quieres decir. He visto otros artículos sobre el tema, principalmente los que profundizan en los enfoques basados en convolución. Estaba principalmente interesado en los aspectos teóricos del problema. Por ejemplo, suponiendo que pueda encontrar un funcional, no importa qué sea, qué tipo de condiciones existen en la dinámica, funcional, etc.

Respuestas (1)

¿Cómo formular principios variacionales (Lagrangianos/Hamiltonianos) para problemas no lineales, disipativos o de valor inicial?

La fricción y la disipación no son variables, consulte, por ejemplo, esta publicación . Hay formulaciones "lagrangianas" para las fuerzas disipativas, pero no obedecen a un principio ingenuo de acción mínima, consulte esta publicación y este documento
@ACuriousMind: revisaré las publicaciones y el documento al que se vinculó, no estoy seguro de lo que quiere decir todavía, pero volveré al final de hoy para responder con más especificidad. Además, otra cosa que quiero mencionar: Rayleigh tiene un método para lidiar con la disipación y el forzamiento externo, pero estoy buscando específicamente una formulación autónoma sin función de disipación necesaria, solo una funcional.
La primera publicación que vinculé muestra un método general para decidir si existe una descripción lagrangiana para un sistema dado por ecuaciones diferenciales. Es definitivo: no existe una descripción lagrangiana de la fuerza disipativa genérica (aunque es posible que pueda hacer trampa en situaciones específicas). El artículo analiza cómo se puede establecer una "descripción lagrangiana extendida" cuyo lagrangiano no sea la suma de los potenciales y las energías cinéticas para modelar las fuerzas disipativas.
@ACuriousMind: No estoy necesariamente buscando un Lagrangiano, estoy haciendo una pregunta más general sobre la existencia de CUALQUIER funcional que pueda ser estacionario con respecto a CUALQUIER sistema. La otra pregunta relacionada puede ser: ¿cuándo puedes "hacer trampa" y por qué? ¿Qué tipo de condiciones existen en los sistemas en los que puede "hacer trampa"?
Como escribe Qmechanic: "Esto abre muchas posibilidades, y puede ser muy difícil encontrar sistemáticamente un principio de acción o, por el contrario, probar un teorema de no-go de que un conjunto dado de eoms no es variacional". Creo que no tenemos una respuesta a su pregunta en tal generalidad.
@ACuriousMind: No veo el comentario de Qmechanic por alguna razón, pero entiendo lo que quieres decir. He visto otros artículos sobre el tema, principalmente los que profundizan en los enfoques basados en convolución. Estaba principalmente interesado en los aspectos teóricos del problema. Por ejemplo, suponiendo que pueda encontrar un funcional, no importa qué sea, qué tipo de condiciones existen en la dinámica, funcional, etc.

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v3):

I) El método bilocal de Gurtin-Tonti [que OP menciona en un ejemplo; ver también la Sección II a continuación] de emparejamiento de tiempos opuestos $t\leftrightarrow (t_f-t_i)-t$ (oculto dentro de una convolución) es un truco artificial desde el punto de vista de la física fundamental, a menos que se justifique más. ¿Por qué tendrían lugar tales correlaciones en el pasado/futuro?

De hecho, puede tener consecuencias mecánicas cuánticas no locales si se supone que dicha acción no local se usa en un formalismo de integral de trayectoria.

Además, el método de convolución de Gurtin-Tonti no funciona para un intervalo de tiempo no compacto. $[t_i,t_f]$ , es decir, si $t_i=-\infty$ o $t_f=\infty$ .

La mayoría de los modelos de física fundamental normalmente obedecen a la localidad , pero existen varias propuestas no locales en el mercado.

La cuestión de si un cierto conjunto de ecuaciones de movimientos $E_i(t)$ tiene un principio de acción (¡o no!) puede ser muy difícil de responder y, a menudo, es un área de investigación activa, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Además, ¿qué constituye un principio de acción aceptable? Por ejemplo, ¿podemos simplemente introducir algunos multiplicadores de Lagrange? $\lambda^{i}(t)$ y una acción $S=\int\! dt ~\lambda^i(t) E_i(t)$ de modo que $\delta S/ \delta\lambda^i(t) = E_i(t)$ , y llamarlo un día? ¿O no se nos permite introducir variables auxiliares o de no localidad? ¿Debería satisfacer un principio mínimo en lugar de un principio estacionario? Etcétera.

II) Ejemplo. Consideremos por simplicidad el intervalo de tiempo unitario $[t_i,t_f]=[0,1]$ . Una versión simetrizada del modelo de Gurtin-Tonti es la siguiente acción bilocal

S [q] := \frac{1}{4} \iint_{[0, 1]^{2}} d t d tu {q^{i} (t) (\frac{d q^{i} (tu)}{d tu} - A_{i j} (t, tu) q^{j} (tu)) + (t \leftrightarrow tu)} d (t + tu - 1)

$S[q]~:=~ \frac{1}{4}\iint_{[0,1]^2} \!dt~du~\left\{ q^i(t) \left(\frac{dq^i(u)}{du}- A_{ij}(t,u) q^j(u)\right)+(t\leftrightarrow u) \right\}\delta(t+u-1)$

= \frac{1}{2} \int_{[0, 1]} d t {\frac{1}{2} q^{i} (1 - t) \frac{d q^{i} (t)}{d t} - \frac{1}{2} q^{i} (t) \frac{d q^{i} (1 - t)}{d t} - q^{i} (1 - t) A_{i j} (1 - t, t) q^{j} (t)}

$~=~\frac{1}{2}\int_{[0,1]} \!dt~\left\{\frac{1}{2} q^i(1\!-\!t) \frac{dq^i(t)}{dt}-\frac{1}{2}q^i(t) \frac{dq^i(1\!-\!t)}{dt}- q^i(1\!-\!t)A_{ij}(1-t,t) q^j(t) \right\}$

\begin{matrix} (1) & = \frac{1}{2} \int_{[0, 1]} d t {q^{i} (1 - t) \frac{d q^{i} (t)}{d t} - q^{i} (1 - t) A_{i j} (1 - t, t) q^{j} (t)} \end{matrix}

$~=~\frac{1}{2}\int_{[0,1]} \!dt~\left\{ q^i(1\!-\!t) \frac{dq^i(t)}{dt}- q^i(1\!-\!t)A_{ij}(1-t,t) q^j(t) \right\} \tag{1}$

con matriz simétrica

\begin{matrix} (2) & A_{i j} (t, tu) = A_{j i} (tu, t) . \end{matrix}

$\tag{2} A_{ij}(t,u) ~=~A_{ji}(u,t) .$

Curiosamente, las contribuciones de los límites en la variación $\delta S$ cancelar sin imponer ninguna condición de contorno (BC). En otras palabras, en cuanto a la búsqueda de soluciones estacionarias, podemos suponer que las variables $q^i$ son libres en ambos puntos finales. (Sin embargo, puede haber otras razones para imponer BC).

La derivada funcional

\begin{matrix} (3) & \frac{d S [q]}{d q^{i} (t)} = {{\frac{d q^{i} (tu)}{d tu} - A_{i j} (t, tu) q^{j} (tu)} |}_{tu = 1 - t} . \end{matrix}

$\tag{3} \frac{\delta S[q]}{\delta q^i(t)}~=~\left.\left\{\frac{dq^i(u)}{du}- A_{ij}(t,u) q^j(u)\right\}\right|_{u=1-t}.$

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se convierten en

\begin{matrix} (4) & \frac{d q^{i} (t)}{d t} \approx A_{i j} (1 - t, t) q^{j} (t) . \end{matrix}

$\tag{4} \frac{dq^i(t)}{dt}~\approx~A_{ij}(1\!-\!t,t) q^j(t).$

Referencias:

V. Berdichevsky, Principios variacionales de la mecánica continua: I. Fundamentos, 2009; Apéndice B.

Creo que veo lo que quieres decir. Efectivamente, ¿estás argumentando que mezclar estos tiempos opuestos no tiene sentido desde un punto de vista físico? ¿Qué tipo de justificación haría si fuera más razonable? Tomemos como ejemplo este documento: arxiv.org/abs/1112.2286 aquí, el autor usa derivadas fraccionarias para formular un principio variacional. Las derivadas fraccionarias también son cantidades no locales, y hay algo que decir acerca de que los procesos con fricción no son locales en cierto sentido, ya que dependen de la trayectoria.
Veo lo que quieres decir sobre el tema de la localidad. Es interesante notar que en el dominio de la frecuencia, la convolución toma una forma local y el producto interno hace lo contrario.
La convolución también podría ser útil para describir procesos disipativos específicamente debido a su naturaleza no local. Una especie de forma de decir "Actualmente estoy en el momento $t$ , ahora déjame convolucionar toda la información sobre mi estado $t$ tiempo en el pasado con la información que se remonta a ese tiempo". Si observa los requisitos para que un sistema pueda funcionar en el marco convolutivo con independencia de la ruta, para los sistemas lineales solo funcionan los sistemas con matrices de estado simétricas (que solo tienen valores propios reales, que pueden ser disipativos).
Además, hay formas de formular principios variacionales locales para sistemas disipativos, mi única preocupación sería que la configuración del sistema no sea realmente la misma al principio y al final, entonces, ¿cómo se puede justificar decir que la variación es cero en ambos? puntos finales?
Más referencias: CR Galley, arxiv.org/abs/1210.2745 El truco aquí es brevemente 1. duplicar $q$ s. 2. $L=L_1-L_2+\ldots$ . 3. $q_-$ actúa como un multiplicador de Lagrange que impone el eom para $q_+$ .
¡gracias! De hecho, también he visto esto, definitivamente es útil.

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