¿Derivar ecuaciones de Euler-Lagrange para coordenadas generalizadas sin "trabajo virtual"?

He estado leyendo "Mecánica clásica" de Goldstein, Poole y Safko. En particular, la sección sobre "Principio de D'alembert y ecuaciones de Lagrange", en la que se utiliza el principio del trabajo virtual para derivar las ecuaciones de Lagrange para coordenadas generalizadas. Estoy algo confundido por las matemáticas de esto, en particular debido al uso de desplazamientos.$\delta q_j$. He tratado de derivar el resultado sin utilizar el concepto de trabajo virtual. Quiero comprobar si esta derivación es correcta:

Configuración

Disponemos de un espacio de configuración$X=\mathbb R^n$, y un camino$r:T\to X$(dónde$T=[0,1]$es la dimensión del tiempo) que satisface las leyes de Newton:

$$m_i\ddot r_i(t)=F_i^t(r(t),t)\quad\quad \forall t\in T$$

Suponemos también que la fuerza total$F^t$es separable en la fuerza aplicada$F$y fuerzas de restricción$f$, como sigue:$F^t=F+f$, y que son conservadores, por lo que$F^t=F+f=-\nabla V^t=-\nabla V-\nabla V^f$, dónde$V:X\to \mathbb R$. No mostraré, pero solo diré que esto implica que si definimos el lagrangiano$L^t(r,\dot r,t)=T(\dot r)-V^t(r,t)$y$L(r,\dot r,t)=T(\dot r)-V(r,t)$apropiadamente, entonces

$$\frac d {dt} L^t_{\dot r_i}(r(t),\dot r(t),t)=L^t_{r_i}(r(t),\dot r(t),t)\quad\quad \forall i,t.$$

Además, suponemos que, de hecho, el camino$r$está restringida a un subespacio$S\subseteq X$, que sucede como resultado de las fuerzas de restricción (no declaro explícitamente las restricciones, solo el subespacio S que las satisface). Podemos describir el camino.$r$en diferentes coordenadas que se mapean en este subespacio S: Tenemos un espacio de coordenadas alternativo$Q=\mathbb R^m$para$m\leq n$y una transformación de coordenadas (variable en el tiempo)$r:Q\times T\to S$, junto con un camino$q:T\to Q$(para ser interpretado como el mismo camino en las nuevas coordenadas) tal que:

$$r(t)=r(q(t),t)\quad \forall t\in T$$ De esto podemos deducir fácilmente$\dot r$como una función de$q$coordenadas, definiendo$\dot r_i(q,\dot q, t)=\sum_j\frac {\partial r_i(q,t)}{\partial q_j} \dot q_j+\frac {\partial R_i}{\partial t}$(Se puede demostrar fácilmente que esto funciona).

Lagrangiano en coordenadas generalizadas$q$

Ahora defino el lagrangiano "derivado"$L(q,\dot q, t)=L(r(q(t),t),\dot r(q(t),\dot q(t),t),t)$

Ahora mostraremos que las ecuaciones de Euler-Lagrange también se cumplen en coordenadas generalizadas$q$:

$$\frac d {dt} L_{\dot q_j}(q(t),\dot q(t),t)=L_{q_j}(q(t),\dot q(t),t)\quad\quad \forall j,t.$$

Simplemente expandimos ambos lados, y usando el hecho de que$L^t=L+V^f$y$\frac d {dt}L^t_{\dot r_i}=\frac d {dt}L_{\dot r_i}$), y mostrar cuatro igualdades:

$$\begin{align}\frac d {dt} L_{\dot q_j}(q(t),\dot q(t),t)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac d {dt}\left[\sum_i L_{\dot r_i} \frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j} \right]&= \sum_i \underset{=}{\underbrace{\left[\frac d {dt}L^t_{\dot r_i}\right]}} \underset{=}{\underbrace{\frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j}}} + L_{\dot r_i} \underset{=}{\underbrace{\left[\frac d {dt}\frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j} \right]}}\\ L_{q_j}(q(t),\dot q(t),t)=\sum_i {\left[L^t_{r_i}+\nabla V^f\right]} {\frac {\partial r_i}{\partial q_j}} +L_{\dot r_i} {\left[\frac {\partial \dot r_i}{\partial q_j} \right]} &=\sum_i \;\;\;\overbrace{\left[L^t_{r_i}\right]} \;\;\;\overbrace{\frac {\partial r_i}{\partial q_j}} +\; L_{\dot r_i} \;\; \overbrace{\left[\frac {\partial \dot r_i}{\partial q_j} \right]} \;\;-\;\;\overset {=\;0}{\overbrace{ \sum_i f_i\frac {\partial r_i}{\partial q_j}}} \end{align}$$

Las tres igualdades se siguen de lo siguiente:

• La primera igualdad es simplemente la ecuación de Euler-Lagrange para coordenadas$r$.

• La segunda igualdad se sigue de simplemente derivar$\dot r(q,\dot q,t)$bien$\dot q$.

• La tercera igualdad se sigue de la segunda igualdad y diferenciación simple.

• La cuarta igualdad es equivalente a la suposición de trabajo virtual cero para las fuerzas de restricción, aunque no he usado el concepto de trabajo virtual al establecerla.

Conclusión

Me parece que he obtenido el resultado deseado sin usar el concepto de trabajo virtual, y de una forma más sencilla que si lo usáramos. ¿Es correcta esta derivación? ¿Me estoy perdiendo de algo?