Ecuación de Euler-Lagrange para sistemas continuos

Comentario a la pregunta (v6): Para la teoría de campos en 1+1 dimensiones, la densidad lagrangiana

$$\tag{1} {\cal L}\left(\phi(x,t), \partial_t\phi(x,t),\partial_x\phi(x,t), x,t\right)$$ depende de 5 argumentos

$$\tag{2} \phi(x,t),~ \partial_t\phi(x,t),~\partial_x\phi(x,t),~ x,~t,$$

si excluimos las teorías con derivadas superiores.

Debe enfatizarse que las diferenciaciones externas en las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange

$$\tag{3} \frac{d}{d t}\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_t \phi)} +\frac{d}{d x}\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_x \phi)} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi}$$

involucrar las derivadas totales

$$\tag{4}\frac{d}{d t}~=~\frac{\partial}{\partial t}+ \partial_t\phi~\frac{\partial}{\partial \phi}+\partial^2_t \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_t \phi)}+\partial_t\partial_x \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_x \phi)}$$

y

$$\tag{5}\frac{d}{d x}~=~\frac{\partial}{\partial x}+ \partial_x\phi~\frac{\partial}{\partial \phi}+\partial^2_x \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_x \phi)}+\partial_x\partial_t \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_t \phi)}$$

en lugar de las derivadas parciales/explícitas

$$\tag{6} \frac{\partial}{\partial t} \quad\text{and}\quad \frac{\partial}{\partial x} .$$

Esto se sigue de la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a través del principio de acción estacionaria , cf. por ejemplo, ref. 1.

Finalmente, debe mencionarse que muchos autores tipifican confusamente las diferenciaciones externas en las ecuaciones de Euler-Lagrange (3) como derivadas parciales (6). Tal notación no cambia el hecho de que deben entenderse como derivadas totales.

Referencias:

1. Herbert Goldstein, Mecánica Clásica; último capítulo.

Supongo que lo que está preguntando aquí es más una pregunta operativa que una pregunta conceptual. Tener en cuenta que$\phi$depende de$x$y$t$, es decir$\phi = \phi(x,t)$, y que con dos variables$t$y$x = x(t)$:

$D_t = \partial_t + \partial_x \dot{x}$

A continuación, puede ampliar la$\dot{\phi}^2(x,t)$término en

$\dot{\phi}^2(x,t) = (\partial_t \phi)^2 + 2 (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi)^2 \dot{x}^2$

Ahora volviendo a la densidad lagrangiana$\mathcal{L} = \frac{1}{2} [\mu \dot{\phi}^2(x,t) - Y\partial_x \phi(x,t)]$. Tenga en cuenta que las derivadas parciales operan en dependencia explícita de las variables en cuestión. Como ejemplo, permítanme hacer el primer término de la ecuación EL aquí:

$\begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_t \phi)} &= \frac{1}{2} \mu \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} [(\partial_t \phi)^2 + 2 (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi)^2\dot{x}^2] + \frac{1}{2} Y \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2\\ &=\frac{1}{2} \mu [\frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_t \phi)^2 + 2\frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2 \dot{x}^2] + 0 \\ &=\frac{1}{2} \mu [2 (\partial_t \phi) + 2(\partial_x \phi) \dot{x} + 0]\\ &=\mu [(\partial_t \phi) + (\partial_x \phi) \dot{x}] \end{align*}$

Hasta ahora, el punto aquí es que debe tratar$\partial_t \phi$ser una variable explícita, y aplicar derivadas parciales como normalmente le gustaría$x$o$t$. El término$\frac{1}{2} Y \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2$en la primera línea, por ejemplo, se evalúa como cero, porque no hay dependencia de$\partial_t \phi$.

Puede detenerse en esta etapa y continuar para evaluar la derivada$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_x \phi)}$primero, y deberías producir algo como$\mu [(\partial_t \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi) \dot{x}^2] - Y \partial_x \phi$. Y como la densidad lagrangiana no depende de$\phi$,$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0$. (¡Intenta calcularlos tú mismo! Puedo estar equivocado aquí: p)

Combinando lo que tiene, debería poder obtener que la ecuación EL sea:

$\partial_t \mu [\partial_t \phi + (\partial_x \phi) \dot{x}] + \partial_x \mu [\partial_t \phi + (\partial_x \phi) \dot{x}] \dot{x} - Y \partial_{xx} \phi = 0$

El tercer término es obviamente el RHS de la ecuación que necesitas probar. Lo que tal vez sea complicado son los dos primeros términos, pero debería volver a consultar la primera ecuación que habíamos discutido anteriormente, es decir$D_t = \partial_t + \partial_x \dot{x}$; Con esto, es bastante sencillo demostrar que

$\mu[\partial_t \dot{\phi} + (\partial_x \dot{\phi}) \dot{x}] = Y \partial_{xx} \phi$

Haz la simplificación una vez más y obtendrás la ecuación que necesitas probar :)

Al hacer teoría de campos, trabajamos con una densidad lagrangiana en lugar de una lagrangiana:

$$S=\int dt L,\hspace{.5cm} L=\int d^3x \mathcal{L}\longrightarrow S=\int d^4x \mathcal{L}$$ Las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes se derivan fácilmente de una manera exactamente análoga a la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en, por ejemplo, la mecánica clásica. El resultado es: $$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_\mu \phi)}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$$ donde he definido $$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu},\hspace{1cm}x^\mu=(t,x,y,z)$$ y utilizó la convención de suma de Einstein . El punto es que el $L$'s en tu segunda ecuación debería ser $\mathcal{L}$'s.

Así que le has dado a la densidad langrangiana que sea:

$$\mathcal{ L}={1\over{2}}\left(\mu\dot{\phi}^2-Y(\partial_x\phi)^2\right),$$

La ecuación de Euler-Lagrange es:

$${\partial\over \partial t}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial\dot{\phi}}}\right)+{\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)={\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}}$$

Así que para la primera ecuación$\partial \mathcal{L}\over{\partial\dot{\phi}}$=$2$X$1\over2$X$\mu\dot\phi$

Luego se procede a tomar la derivada temporal de esto que es$\mu\ddot\phi$.

Sigues los mismos pasos para obtener${\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)$

señalando que${\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}} = 0$como no hay$\phi$dependencia en su Densidad Lagrangiana.

También tenga en cuenta que$\partial_x\phi$medio$\partial\phi\over \partial x$. Esperemos que ahora le resulte más claro cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento.

Lo descubrí... Debería ser evidente que la función$\phi$es análoga a la coordenada x para la distribución continua. Y$\dot{\phi}$También debería ser evidente que este es un sistema no relativista. Pero ... una cosa a tener en cuenta es que si el tiempo fuera tratado como una coordenada, habría una ecuación adicional para tener en cuenta y una función adicional.$\psi$que sería análogo a t. Su derivada temporal en el límite no relativista es análoga a 1. Mostraré por qué es útil en la solución.

Comience evaluando el resultado del taponamiento$\dot\phi^2$en LHS de EL en forma dada.

1)${\partial\over\partial x}{\partial (\dot\phi\dot\phi)\over{\partial(\partial_x\phi)}}\rightarrow2{\partial\over\partial x}\dot\phi{\partial (\dot\phi\partial_x\phi+"1"\partial_t\phi)\over{\partial(\partial_x\phi)}}$dónde$\dot\phi="v"\cdot\nabla\phi$ha sido usado y$"v"\leftrightarrow (\dot{\psi},\dot{phi})$como$\dot{\psi}\rightarrow 1$en límite no relativista.

entonces la primera parte da$2{\partial_x\dot{\phi}}\dot{\phi}$

2) Hacemos análisis análogos para el$"\partial_t"$parte que da$2\partial_t\dot{\psi}\dot{phi}$

3) suma las partes 1 y 2 para obtener$2(\partial_t\dot{\psi}\dot{\phi}+{\partial_x\dot{\phi}}\dot{\phi})$que tomando el$\partial_t$y$\partial_x$operadores para viajar con$\dot\psi$y$\dot{\phi}$respectivamente es lo mismo que$2"v"\cdot\nabla \phi\rightarrow 2\ddot{\phi}$

4) A partir de estas consideraciones, es evidente que taponar el${1\over{2}}\mu\dot\phi^2$porción de densidad$\mathcal{L}$en la LHS de la ecuación EL proporciona el término$\mu\ddot{\phi}$de la ecuación final de movimiento.