Derivadas de orden superior - Ecuación de movimiento

I) Sobre un principio de acción $S=\int\!dt~ L$, supongamos que el Lagrangiano es de la forma

$$\tag{1} L~=~T-U,$$

dónde$T$es el término cinético, y$U({\bf r},\dot{\bf r}, \ddot{\bf r},\dddot{\bf r}, \ldots;t)$es un potencial generalizado, que nos gustaría encontrar. El potencial generalizado$U$debe satisfacer

$$\tag{2} {\bf F}~=~-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}} +\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot{\bf r}} -\frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial U}{\partial \ddot{\bf r}} +\frac{d^3}{dt^3}\frac{\partial U}{\partial \dddot{\bf r}} - \ldots,$$

dónde${\bf F}({\bf r},\dot{\bf r}, \ddot{\bf r}, \dddot{\bf r}, \ldots;t)$es una fuerza total dada sobre la partícula puntual.

II) Consideremos por diversión una fuerza proporcional a la$n$'ésima derivada temporal de la posición

$$\tag{3} {\bf F}~=~-k \frac{d^n{\bf r}}{dt^n}$$

para cualquier entero no negativo$n\in\mathbb{N}_0$. Para un entero par$n$, podemos usar el potencial generalizado

$$\tag{4} U~=~ (-1)^{\frac{n}{2}}\frac{k}{2} \left(\frac{d^{\frac{n}{2}}{\bf r}}{dt^{\frac{n}{2}}} \right)^2.$$

El caso$n=0$de una fuerza proporcional a la posición

$$\tag{5} {\bf F}~=~-k {\bf r}, \qquad U ~=~\frac{k}{2}{\bf r}^2, \qquad k~>~0,$$ es la conocida ley de Hooke/oscilador armónico.

El caso$n=2$de una fuerza aplicada proporcional a la aceleración

$$\tag{6} {\bf F}~=~-k \ddot{\bf r}, \qquad U ~=~-\frac{k}{2}\dot{\bf r}^2, \qquad$$ se comporta como un término cinético (no relativista).

El caso$n=1$de una fuerza de fricción proporcional a la velocidad

$$\tag{7} {\bf F}~=~-k \dot{\bf r}, \qquad k~>~0,$$

se discute en, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y esta publicación de mathoverflow. De manera más general, utilizando métodos muy similares a los de estas dos publicaciones, se puede mostrar que es imposible asignar un potencial generalizado$U$a la fuerza (3) para cualquier entero positivo impar$n$. Así en particular, el caso$n=3$, la fuerza de Abraham-Lorentz $^1$proporcional al tirón

$$\tag{8} {\bf F}~=~-k \dddot{\bf r}\qquad k~<~0,$$

no tiene un potencial generalizado$U$.

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$^1$Sin embargo, vea también esta publicación Phys.SE relacionada.

La ecuación de Euler-Lagrange para un Lagrangiano de orden superior$L=L(q,\dot q,\ddot q,\dots\,q^{(n)})$lee

$$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q} + \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\frac{\partial L}{\partial\ddot q} - \dots + (-1)^n \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dt^n}\frac{\partial L}{\partial q^{(n)}} + Q = 0$$ dónde $Q$describe las fuerzas generalizadas que no se derivan del Lagrangiano, por ejemplo, fuerzas de restricción con multiplicadores de Lagrange o fricción.

En algunos casos, es posible derivar estas fuerzas de una función de disipación$R=R(\dot q)$a través de

$$Q=-\frac{\partial R}{\partial\dot q}$$ No veo una razón para no introducir dependencias en derivados superiores también, pero no he investigado nada sobre el tema.

La respuesta de Christoph es ciertamente correcta, permítanme agregar algunas cosas:

Para la cuestión de las derivadas superiores, existe esta respuesta de hace unos años. Como puede ver, no hay ningún problema matemático con los lagrangianos que impliquen derivadas superiores si nos mantenemos clásicos, si puede aceptar una energía que no está limitada por debajo. En las teorías cuánticas, sin embargo, esto crea sistemas completamente inestables, que ciertamente no son una buena descripción de la naturaleza. (Sin embargo, en una teoría efectiva (es decir, no fundamental), nada le prohíbe ignorar estos problemas).

Que se pueden obtener algunos términos de fricción a partir de funciones de disipación$R(\dot{q})$también es correcto, pero esto elimina el principio de acción mínima, ya que las ecuaciones de movimiento ya no son las ecuaciones de Euler-Lagrange, sino que tienen el término agregado${\partial R} \over {\partial \dot{q}}$. La razón conceptual es que las fuerzas disipativas no son conservativas, por lo que no pueden provenir de un potencial, por lo que el Lagrangiano como$T - V$no puede producirlos. Sin embargo, con un poco más de cálculo, parece posible escribir un Lagrangiano que produzca correctamente la ecuación de movimiento como sus ecuaciones de Euler-Lagrange, como se hace en este artículo, pero esto conlleva la pérdida de la interpretación de nuestros Lagrangianos y Hamiltonianos como funciones simples de energía cinética y potencial.