¿Puede darme un ejemplo de un espacio topológico no compacto con un subconjunto denso compacto?

Tome la topología de punto incluida en, p.$X=\Bbb R$: todos los subconjuntos abiertos son$\emptyset$y todo$A \subseteq \Bbb R$con$0 \in A$.

Entonces$\{0\}$es compacto y denso mientras que$X$no es compacto: considere la cubierta abierta$\{\{0,x\}, x \in X\}$.

Puede construir un buen ejemplo modificando la "línea real con dos$0$'s" de la siguiente manera:

Dejar$Y=[-1,1]\times \mathbb{N}$y tomar$X$ser el espacio cociente$Y/\mathord{\sim}$donde nos identificamos$(t,n)\sim (t,m)$para todos$t\neq 0$y$m,n\in\mathbb{N}$. Esencialmente, colapsa todos los intervalos juntos excepto en$0$dejas los puntos en paz. El espacio$X$es un solo intervalo pero donde tienes un número contablemente infinito de$0$'s. veamos por qué$X$es un$T_1$, espacio no compacto que tiene un subconjunto compacto y abierto.

Dejar$q:Y\to X$denote el mapa del cociente. No es demasiado difícil de comprobar que$q$es un mapa abierto. dejemos$0_n=q(0,n)$denota el "$n$-th cero" e identificar$X\backslash \{0_n\mid n\in\mathbb{N}\}$con$[-1,0)\cup (0,1]$desde$q$mapas$[-1,0)\cup (0,1]\times \{n\}$homeomórficamente sobre su imagen.

$X$es$T_1$ya que las fibras de$q$son de la forma$q^{-1}(t)=\{t\}\times \mathbb{N}$,$t\neq 0$o$q^{-1}(0_n)=\{(0,n)\}$, que están cerrados en$[-1,1]\times\mathbb{N}$.

Desde$q$es un mapa abierto, cada intervalo$U_n=q([-1,1]\times\{n\})$es barrio abierto de$0_n$en$X$. Además,$U_n$es denso en$X$porque cada barrio abierto de$x_m$nos encontraremos$U_n$. Finalmente,$U_n$es compacto porque es la imagen continua del conjunto compacto$[-1,1]\times\{n\}$.

La colección$\{U_n\mid n\in\mathbb{N}\}$es una cubierta abierta de$X$, que no tiene una subcubierta finita, por lo que$X$no es compacto.