Preimagen conectada del mapa de cociente

He aquí un contraejemplo.

Dejar$X=\{a,b,c,d\}$con la topología que tiene la base$\{a,b\},\{b\},\{b,c,d\},\{d\}$, y deja$Y=\{A,C,D\}$con la topología generada por$\{C,D\},\{D\}$. Entonces

$$q:X\to Y, \quad a\mapsto A,\; b,c\mapsto C,\; d\mapsto D$$ es un mapa de cociente con fibras conectadas. Sin embargo, $U=\{A,D\}$es un conjunto conexo en $Y$con preimagen desconectada $\{a,d\}$

Tenía que pensar en esto en este momento, así que permítanme elaborar un poco la respuesta de Arrow en aras de la exhaustividad.

Dejar$f\colon X\to Y$ser una función continua, cerrada y sobreyectiva con fibras conectadas no vacías. Dejar$Z\subseteq Y$ser un subconjunto cerrado y conexo no vacío. Entonces$f^{-1}(Z)$está conectado.

Esto lo podemos comprobar con la siguiente caracterización:

Un espacio topológico está conectado si y solo si cada subconjunto cerrado y abierto no vacío es el espacio completo.

Entonces deja$\varnothing \neq A\subseteq f^{-1}(Z)$ser un subconjunto cerrado y abierto. El objetivo es mostrar que$A=f^{-1}(Z)$.

1. $f(A)$es un subconjunto no vacío de$Z$.

2. $f(A)$es un subconjunto cerrado de$Z$. De hecho, desde$Z$está cerrado y$f$es continuo,$f^{-1}(Z)$también está cerrado. Por eso$A$está cerrado en$X$. Desde$f$está cerrado,$f(A)$está cerrado en$Y$, así también en$Z$.

3. $f(f^{-1}(Z)\setminus A)=Z\setminus f(A)$. Desde$f$es sobreyectiva, tenemos$Z\setminus f(A)\subseteq f(f^{-1}(Z)\setminus A)$. deja ahora$z=f(x)$para$x\in f^{-1}(Z)\setminus A$. Entonces$x\in f^{-1}(z)\setminus A\cap f^{-1}(z)$, entonces$A\cap f^{-1}(z)\subsetneq f^{-1}(z)$es un subespacio propio cerrado y abierto de la fibra. Como la fibra está conectada, se sigue que$A\cap f^{-1}(z)=\varnothing$, Lo que significa que$z\in Z\setminus f(A)$.

4. $f(A)$es un subconjunto abierto de$Z$. Desde$f^{-1}(Z)$está cerrado en$X$y$A$está abierto en$X$,$f^{-1}(Z)\setminus A$está cerrado en$X$. Desde$f$está cerrado,$Z\setminus f(A)$está cerrado en$Y$por el punto anterior, así también en$Z$.

5. $f(A)=Z$. Esto se sigue de$Z$siendo conectado y los puntos 1, 2 y 4 anteriores.

6. $f^{-1}(f(A))=A$. Nosotros siempre tenemos$A\subseteq f^{-1}(f(A))$, así que vamos a comprobar la otra inclusión. Dejar$x\in f^{-1}(f(A))$, para que haya un$a\in A$con$f(x)=f(a)$. Esto implica que$\varnothing \neq A\cap f^{-1}(f(x))\subseteq f^{-1}(f(x))$es un subconjunto cerrado y abierto no vacío. Dado que la fibra está conectada, esto implica que$A\cap f^{-1}(f(x))=f^{-1}(f(x))$, por eso$f^{-1}(f(x))\subseteq A$y$x\in A$también.

7. $A=f^{-1}(Z)$, que es lo que queríamos mostrar. Esto se deduce de los puntos 5 y 6 anteriores.

Nota al margen:

En caso de que alguien que lea esto esté interesado en la geometría algebraica, podemos combinar esto con la versión de Hartshorne del Teorema Principal de Zariski [Corolario III.11.4 en su libro de Geometría Algebraica ] para obtener la siguiente afirmación:

Dejar$f\colon X\to Y$ser un morfismo birracional propio de variedades algebraicas (irreducibles). Asumir que$Y$es normal. Entonces la preimagen de cada subconjunto cerrado conectado de$Y$vuelve a estar conectado.

Solo una observación: la afirmación es verdadera si$U\subset Y$se supone abierto o cerrado.

No se necesitan supuestos de conexión en$X$.

Agregado. La respuesta de Pedro con detalles adicionales me hizo darme cuenta de que mi respuesta podría ser bastante inútil, así que pensé en agregar mi punto de vista como una serie de ejercicios.

Proposición 1. Sea$X_0\subset X$estar abierto y$C\subset X$conectado. Entonces$C\cap X_0\neq\emptyset\implies C\subset X_0$.

Definición 1. Un mapa continuo es monótono si sus fibras no vacías están conectadas.

Proposición 2. Supongamos$f:X\to Y$es monótono. Si$X_0\subset X$está abierto entonces$X_0=f^{-1}fX_0$.

Definición 2. Un mapa continuo$f:X\to Y$es un mapa de cociente si$V\subset Y$está abierto si$f^{-1}V\subset X$Esta abierto. (No necesitaremos sobreyectividad.)

Proposición 3. Supongamos$f:X\to Y$es un mapa de cociente. Si$f$es monótono y$Y$esta conectado entonces$f$es sobreyectiva y$X$está conectado.

Proposición 4. Supongamos$f:X\to Y$es un mapa de cociente. Si$B\subset Y$esta abierto o cerrado entonces$f:f^{-1}B\to B$es un mapa de cociente.

Combinar todo da la afirmación en la primera oración de la respuesta. He aquí un claro corolario de la tercera proposición.

Corolario 1. Un producto finito de espacios conexos es conexo.

Prueba. Dejar$X,Y$estar conectado y considerar el mapa de proyección$X\times Y\to Y$. Es un mapa de cociente y las fibras están conectadas porque son homeomorfas a$X$. Desde$Y$es conexa podemos aplicar la proposición para deducir$X\times Y$está conectado.