Topológico "Sueño de estudiante de primer año"

Hay muchos ejemplos en los que ambos$X/Y\cong X$y$X\times Y\cong X$, de lo que se sigue que$X/Y\times Y\cong X$. Probablemente lo más fácil es si$X$es un espacio discreto infinito y$Y$es cualquier subespacio no vacío de$X$tal que$|X\setminus Y|=|X|$. Para un ejemplo menos trivial, podría tomar$X=\mathbb{Q}$o$X=\{0,1\}^\mathbb{N}$y$Y$cualquier subconjunto finito no vacío de$X$(para estos se necesita algo de trabajo para mostrar que$X/Y\cong X$).

Aquí hay un ejemplo no trivial a lo largo de estas líneas donde$X$es un complejo CW. Dejar$X\subset\mathbb{R}^2$sea ​​la unión de todas las circunferencias de radio$1$centrado en los puntos de la forma$(2a,3b)$dónde$a,b\in\mathbb{Z}$. Esta es una unión disjunta de infinitas "cadenas de círculos" unidas en puntos únicos. Dejar$Y=\{(0,1),(0,-1)\}$. Entonces$X/Y\cong X$, ya que este cociente simplemente toma uno de los círculos y lo junta para formar dos círculos (por lo que su cadena de círculos sigue siendo una cadena infinita de círculos), y$X\times Y\cong X$ya que ese producto simplemente duplica el número ya infinito de cadenas de círculos en$X$.

Una clase potencial de ejemplos: Si$X$es infinita discreta, digamos$|X| = \kappa \ge \aleph_0$.

Entonces cualquier subespacio$Y$también es discreto y también lo es$X{/}Y$. Un producto de dos espacios discretos también es discreto, por lo que se reduce a los tamaños, ya que los espacios discretos son homeomorfos si tienen la misma cardinalidad:

Si$Y$es finito, TFD se cumple como$X{/}Y$tiene el mismo tamaño que$X$y$|X| = |X| \times n$para$\kappa$infinito y$n$finito.

Si$\lambda:=|Y| < |X|$y también es infinito entonces$|X{/}Y| = \kappa$todavía y de hecho$\kappa \times \lambda = \kappa$entonces TFD se mantiene.

Si$|Y| = |X|$Hay algunos casos dependiendo de$|X\setminus Y|$, Échale un vistazo.

Otra clase potencial: espacios indiscretos, ya que todos los subespacios y cocientes por subespacios son indiscretos y el homeomorfismo solo depende del tamaño.

Aquí hay un espacio de Hausdorff compacto conexo con esta propiedad: el cubo de Hilbert $X:=[0,1]^\omega$. Podemos elegir$Y:=\{x\in [0,1]^\omega\mid x_1=0\}\subset X$.

Es cierto que este sigue siendo un "ejemplo tipo Eric Wofsey": satisface$X/Y\cong X$y$X\times Y\cong X$, y ahora me pregunto si hay ejemplos que no satisfagan a ninguno.

Prueba$X/Y\cong X$

El cubo de Hilbert se puede identificar con el siguiente subconjunto compacto convexo de$\ell^2$:

Creo que el cociente$X/Y$es homeomorfo al siguiente subconjunto de$X$:

Además, creo que este es todavía un subconjunto compacto convexo de$\ell^2$de dimensión infinita. Wikipedia afirma que cada subconjunto compacto convexo de dimensión infinita de$\ell^2$es homeomorfo al cubo de Hilbert.