la topología del cociente no conserva los axiomas de separación

Dejar$X$ser$\mathbb{R}$en la topología habitual, defina una relación de equivalencia en$X$por$x \sim y$si y si$x-y \in \mathbb{Q}$, dejar$Y$Sea el conjunto de clases, y sea$q$ser el mapa estándar que envía un punto a su clase. Entonces$Y$en la topología cociente inducida por$Y$es incontable e indiscreto (solo$\emptyset$y$Y$están abiertos), de modo que$X$tiene todos los axiomas de separación "buenos" ($T_0$hasta e incluyendo$T_6$) mientras$Y$, su imagen cociente, no tiene ninguno de ellos. Di una prueba aquí .

Tenemos un ejemplo similar con$X$y la relación de equivalencia donde las dos únicas clases son$\mathbb{Q}$y$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, y mapeamos a un conjunto de dos puntos$\{0,1\}$, (decir$q(x) = 0$para$x \in \mathbb{Q}$, y$1$de lo contrario) que también es indiscreto (en cuanto a$\emptyset \neq O \subseteq \{0,1\}$si el conjunto$q^{-1}[O]$es abierto, entonces al no estar vacío contiene racionales e irracionales, de modo que$\{0,1\} \subseteq q[q^{-1}[O]] = O$). Ambos mapas de arriba son incluso mapas abiertos.

Si$X$es$T_2$(Hausdorff) y no regulares, y esto último es presenciado por$x \notin A$, y$A$cerrado. Luego identificando$A$a un punto, nos da un mapa de cociente en un espacio que es$T_1$pero no$T_2$. Esto muestra que los mapas cerrados también pueden "matar" un axioma de separación. Se da una variación cuando$X$no es normal pero$T_3$, y nos identificamos con presenciar conjuntos cerrados a puntos, y obtenemos un no-$T_2$cociente de nuevo.

Wikipedia dice :

En general, los espacios de cociente se comportan mal con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación de$X$no necesita ser heredado por$X/\!\!\sim$, y$X/\!\!\sim$puede tener propiedades de separación no compartidas por$X$.

El cociente de Kolmogorov produce quizás los ejemplos no triviales más simples de cocientes$X/\!\!\sim$que tienen propiedades de separación no compartidas por$X$. Comenzamos definiendo una relación de equivalencia$\sim$en$X$donde$x \sim y \iff$ $x$y$y$tienen los mismos barrios abiertos, es decir, siempre que son topológicamente indistinguibles . al pasar a$X/\!\!\sim$, llegamos a un espacio donde dos puntos cualesquiera son distinguibles. Así que cuando$X$no es$T_0$, el cociente de Kolmogorov en$X$ es $T_0$. Por otro lado, si$X$ya es$T_0$, entonces$X$y$X/\!\!\sim$son homeomorfos.

Aunque insatisfactorio, tenga en cuenta también que puede simplemente "pegar" todos los puntos de cualquier espacio en uno, en el que modificamos por la relación de equivalencia$\{x \sim y\ \ \ \forall x, y \in X\}$. En este cociente, cada propiedad de separación se vuelve vagamente verdadera .

Justo debajo del texto citado arriba, Wikipedia da una pista$^\dagger$para construir un espacio$X$y una relación de equivalencia$\sim$tal que perdemos propiedades de separación al pasar al espacio del cociente:

$X/\!\!\sim$es un$T_1$espacio si y sólo si cada clase de equivalencia de$\sim$está cerrado en$X$.

Así que simplemente construya un$T_1$espacio junto con una relación tal que al menos una de sus clases de equivalencia no es cerrada en$X$. Debido a que existe una correspondencia biyectiva entre las relaciones de equivalencia en$X$y particiones de$X$(un corolario de la definición de una relación de equivalencia), puede abordar esto dividiendo$X$en subconjuntos$\{P_\alpha\}$donde al menos uno de estos subconjuntos no es cerrado. Entonces debemos perder$T_1$-ness pasando a$X/\!\!\sim$.

$^\dagger$Boceto de prueba de pista :

Dejar$f: X \rightarrow X/\!\!\sim$sea ​​el mapa del cociente. Este resultado es consecuencia de los siguientes tres hechos, considerados en conjunto:

• $U \subset X/\!\! \sim$está cerrado$\iff f^{-1}(U)$está cerrado en$X$
• un espacio es$T_1 \iff$cada conjunto singleton es cerrado
• Las clases de equivalencia en$X$son precisamente las imágenes inversas de los conjuntos singleton en$X/\!\!\sim$