Prueba simple basada en desigualdades [cerrado]

Question

Campeón de la muerte

En ángulo recto $\triangle ABC$ , que forma un ángulo recto en $C$ , Pruebalo $a^n + b^n < c^n$ para todos $n > 2$ .

Puedo probar esto para potencias de 2 como $a^2 + b^2 = c^2$

(a^{2} + b^{2})^{norte} > (a^{2})^{norte} + (b^{2})^{norte}

$(a^2 + b^2)^n > (a^2)^n + (b^2)^n$ Pero, ¿cómo probar que es verdad para todos?

n

$n$ int.s

Trate de dividir por

c^{2}

$c^2$ . Luego usa funciones trigonométricas.

momo · Answer 1

Como $0<\frac{a}{c}<1$ y $0<\frac{b}{c}<1$ , uno tiene por $n>2$ :

{(\frac{a}{C})}^{norte} + {(\frac{b}{C})}^{norte} < {(\frac{a}{C})}^{2} + {(\frac{b}{C})}^{2} = 1

$\left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n<\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1$