Aproximar un número real por una fracción de un lado

Question

Aproximar un número real por una fracción de un lado

desigualdad
Matemáticas
teoría de los números
aproximación diofántica

Misha Lavrov

El teorema de aproximación de Dirichlet nos dice que para cualquier número real $\alpha$ , tenemos una secuencia de aproximaciones racionales de $\alpha$ que son buenos para lo grande que es su denominador. Más precisamente: dado un número entero $N \ge 1$ , existe un número racional $\frac pq$ con $1 \le q \le N$ tal que

| α - \frac{pag}{q} | < \frac{1}{q norte} .

$\left|\alpha - \frac pq\right| < \frac1{qN}.$

(Este error es menor que $\frac1{q^2}$ , y el teorema de Roth nos dice que para números algebraicos, el exponente aquí es el mejor posible).

Los valores absolutos nos dicen que la fracción $\frac pq$ va a ser un poco más pequeño o un poco más grande que $\alpha$ . ¿Y si quiero especificar cuál es? Por ejemplo, supongamos que quiero encontrar $\frac pq$ tal que

\frac{pag}{q} < α < \frac{pag}{q} + ϵ .

$\frac pq < \alpha < \frac pq + \epsilon.$ ¿Qué tan pequeño puedo hacer?

ϵ

$\epsilon$ (relacionado con

q

$q$ , o posiblemente algún parámetro extra

N

$N$ como anteriormente)?

Estoy un poco preocupado cuando se trata de números como la constante de Liouville. $L = \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}$ , que tiene muy buenas aproximaciones (truncando la serie), pero todas desde abajo; similarmente, $1-L$ tendrá muy buenas aproximaciones, pero todas desde arriba.

Pedro

Si las entradas "grandes" ocurren en la expansión de fracciones continuas simples solo en posiciones pares o impares, no tenemos aproximaciones "muy buenas" de ambos lados.

Pedro

Pero puede obtener una aproximación arbitraria al número de ambos lados, si no le importa qué tan buena es esta aproximación en comparación con la magnitud del denominador.

Misha Lavrov

Ambos son buenos puntos, pero me gustaría cuantificar qué tan buenas son las aproximaciones que podemos obtener. Así, por ejemplo, el enfoque ingenuo de decir

α \approx \frac{⌊ q α ⌋}{q}

$\alpha \approx \frac{\lfloor q\alpha \rfloor}{q}$ nos dice que siempre podemos obtener aproximaciones con error como máximo

\frac{1}{q}

$\frac1q$ .

Pedro

Tal vez esto sea útil: en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(number_theory)

Misha Lavrov

¿Puedes elaborar? No veo cómo el límite descarta la posibilidad de que haya infinitas fracciones arriba

α

$\alpha$ con error

O (\frac{1}{q^{2}})

$O(\frac1{q^2})$ , pero ninguno o solo unos pocos a continuación

α

$\alpha$ .

Pedro

¡Un buen punto en el que no pensé! Pero si está seguro con un error menor que

\frac{1}{q^{2}}

$\frac{1}{q^2}$ , entonces cada convergente hace el trabajo. Entonces, este límite definitivamente se puede lograr desde ambos lados. Intuitivamente, diría que el límite de Hurwitz se puede lograr desde ambos lados infinitas veces, pero admito que no puedo probarlo.

aravind

Decir

p > q

$p>q$ , y

g c d (p, q) = 1

$gcd(p,q)=1$ (no podemos garantizar esto) y

p / q < α

$p/q<\alpha$ . Ahora escribe

q r - p s = 1

$qr-ps=1$ con

r, s

$r,s$ pequeño entonces

\frac{r}{s} - \frac{p}{q} = \frac{1}{q s}

$\dfrac{r}{s}-\dfrac{p}{q}=\dfrac{1}{qs}$ y

r / s

$r/s$ podría funcionar como un límite superior con un pequeño error.

aravind

Otra idea es aproximar primero con un denominador muy grande (en términos de la N original) y luego reducirlo a cualquier lado.

Pedro

@Aravind El método de fracción continua en realidad encuentra tales fracciones exprimiendo

α

$\alpha$ y las garantías de construcción

g c d (p, q) = 1

$gcd(p,q)=1$ . Entonces, un error menor que

\frac{1}{q^{2}}

$\frac{1}{q^2}$ de cualquier lado siempre se puede lograr para cada número irracional. Además, existen infinitas fracciones de este tipo para cada lado porque las fracciones están alternativamente debajo y arriba

α

$\alpha$ .

aravind

@Peter, sí, los convergentes de fracciones continuas se alternan en ambos lados. Solo estaba tratando de obtener una aproximación de otra. ¿El teorema de Hurwitz también proviene de fracciones continuas?

Pedro

@Aravind Sí, lo hace. De

3

$3$ convergencias consecutivas, al menos una tiene un error menor que

\frac{1}{\sqrt{5} q^{2}}

$\frac{1}{\sqrt{5}q^2}$ . Si solo tenemos dos convergentes consecutivos, al menos uno tiene un error menor que

\frac{1}{2 q^{2}}

$\frac{1}{2q^2}$ , pero esto no implica necesariamente que tengamos tales aproximaciones desde abajo Y desde arriba.

Respuestas (1)

Aproximar un número real por una fracción de un lado

Si las entradas "grandes" ocurren en la expansión de fracciones continuas simples solo en posiciones pares o impares, no tenemos aproximaciones "muy buenas" de ambos lados.
Pero puede obtener una aproximación arbitraria al número de ambos lados, si no le importa qué tan buena es esta aproximación en comparación con la magnitud del denominador.
Ambos son buenos puntos, pero me gustaría cuantificar qué tan buenas son las aproximaciones que podemos obtener. Así, por ejemplo, el enfoque ingenuo de decir $\alpha \approx \frac{\lfloor q\alpha \rfloor}{q}$ nos dice que siempre podemos obtener aproximaciones con error como máximo $\frac1q$ .
Tal vez esto sea útil: en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(number_theory)
¿Puedes elaborar? No veo cómo el límite descarta la posibilidad de que haya infinitas fracciones arriba $\alpha$ con error $O(\frac1{q^2})$ , pero ninguno o solo unos pocos a continuación $\alpha$ .
¡Un buen punto en el que no pensé! Pero si está seguro con un error menor que $\frac{1}{q^2}$ , entonces cada convergente hace el trabajo. Entonces, este límite definitivamente se puede lograr desde ambos lados. Intuitivamente, diría que el límite de Hurwitz se puede lograr desde ambos lados infinitas veces, pero admito que no puedo probarlo.
Decir $p>q$ , y $gcd(p,q)=1$ (no podemos garantizar esto) y $p/q<\alpha$ . Ahora escribe $qr-ps=1$ con $r,s$ pequeño entonces $\dfrac{r}{s}-\dfrac{p}{q}=\dfrac{1}{qs}$ y $r/s$ podría funcionar como un límite superior con un pequeño error.
Otra idea es aproximar primero con un denominador muy grande (en términos de la N original) y luego reducirlo a cualquier lado.
@Aravind El método de fracción continua en realidad encuentra tales fracciones exprimiendo $\alpha$ y las garantías de construcción $gcd(p,q)=1$ . Entonces, un error menor que $\frac{1}{q^2}$ de cualquier lado siempre se puede lograr para cada número irracional. Además, existen infinitas fracciones de este tipo para cada lado porque las fracciones están alternativamente debajo y arriba $\alpha$ .
@Peter, sí, los convergentes de fracciones continuas se alternan en ambos lados. Solo estaba tratando de obtener una aproximación de otra. ¿El teorema de Hurwitz también proviene de fracciones continuas?
@Aravind Sí, lo hace. De $3$ convergencias consecutivas, al menos una tiene un error menor que $\frac{1}{\sqrt{5}q^2}$ . Si solo tenemos dos convergentes consecutivos, al menos uno tiene un error menor que $\frac{1}{2q^2}$ , pero esto no implica necesariamente que tengamos tales aproximaciones desde abajo Y desde arriba.

Misha Lavrov · Answer 1

Para resumir las respuestas en los comentarios:

Una versión más cuantitativa del teorema de aproximación de Dirichlet es el teorema de Hurwitz ( enlace de Wikipedia ), que garantiza la existencia de infinitas aproximaciones $\frac pq$ tal que

| α - \frac{pag}{q} | < \frac{1}{\sqrt{5} q^{2}},

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac1{\sqrt 5\,q^2},$ que es apretado: para algunos

α

$\alpha$ , no existe una mejor aproximación. Además, estas aproximaciones se pueden encontrar truncando la expansión en fracción continua de

α

$\alpha$ .

Esto, por sí solo, no nos garantiza de qué lado está la aproximación. Sin embargo, la fracción continua converge $\frac{h_n}{k_n}$ satisfacer

\frac{h_{2 norte}}{k_{2 norte}} < α < \frac{h_{2 norte + 1}}{k_{2 norte + 1}}

$\frac{h_{2n}}{k_{2n}} < \alpha < \frac{h_{2n+1}}{k_{2n+1}}$ y también

| α - \frac{h_{norte}}{k_{norte}} | < \frac{1}{k_{norte} k_{norte + 1}} .

$\left|\alpha - \frac{h_n}{k_n}\right| < \frac1{k_n k_{n+1}}.$ (Ver, por ejemplo, este enlace ). Entonces, los convergentes pares nos dan una aproximación cercana desde abajo:

\frac{h_{2 norte}}{k_{2 norte}} < α < \frac{h_{2 norte}}{k_{2 norte}} + \frac{1}{k_{2 norte}^{2}} .

$\frac{h_{2n}}{k_{2n}} < \alpha < \frac{h_{2n}}{k_{2n}} + \frac1{k_{2n}^2}.$ De manera similar, los convergentes impares nos dan una aproximación cercana desde arriba.

Asintóticamente, este es el mejor error que podemos esperar. Podríamos esperar mejorar la constante en $\frac{1}{q^2}$ para acercarlo al teorema de Hurwitz. Sin embargo, experimentalmente, parece que la constante de $1$ es en realidad lo mejor posible. si tomo $\alpha$ ser la fracción continua infinita

α = 1 + \frac{1}{100 + \frac{1}{1 + \frac{1}{100 + \frac{1}{⋱}}}} = \frac{5 + \sqrt{26}}{10}

$\alpha = 1 + \frac{1}{100 + \frac1{1 + \frac1{100 + \frac1{\ddots}}}} = \frac{5 + \sqrt{26}}{10}$ entonces las fracciones continuas convergentes dan errores de

\approx \frac{0.98}{q^{2}}

$\approx \frac{0.98}{q^2}$ de un lado y

\approx \frac{0.0098}{q^{2}}

$\approx \frac{0.0098}{q^2}$ del otro: pagamos buenas aproximaciones desde abajo con malas aproximaciones desde arriba.

Esto no es una prueba, porque no he dicho nada sobre la calidad de otras aproximaciones de fracciones no continuas a $\frac{5 + \sqrt{26}}{10}$ . Pero es muy sugestivo de cuál podría ser la respuesta, ¿no es así?

Aproximar un número real por una fracción de un lado

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Pedro

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Misha Lavrov

Relación entre el Teorema de Aproximación de Dirichlet y Convergentes

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