¿Prueba fácil del teorema de Noether? [duplicar]

Consideramos transformaciones infinitesimales de un campo en la forma,

$$\phi\to\phi' = \phi(x)+\alpha \Delta \phi(x)$$

para un parámetro infinitesimal$\alpha$. Se dice que el sistema es invariante bajo tal transformación si cambia hasta una derivada total o término de superficie, es decir

$$\mathcal{L}\to\mathcal{L}'=\mathcal{L}(x)+\alpha \,\partial_\mu F^{\mu}(x)$$

Al variar con respecto a los campos,

$$\alpha \Delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\alpha \Delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\mu (\alpha\Delta \phi)$$ $$= \alpha \underbrace{\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi\right)}_{F^\mu(x)} + \alpha \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\right]\Delta \phi$$

donde en la última línea empleamos las ecuaciones de movimiento que surgen al exigir$\delta S=0$. Observe que el segundo término es cero por esa razón, y por lo tanto podemos declarar,

$$j^{\mu}(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi - F^{\mu}(x)$$

que satisface la ecuación de continuidad,$\partial_\mu j^{\mu}=0$, o en lenguaje de cálculo vectorial,

$$\frac{\partial j^{0}}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{j}=0$$

La carga de Noether correspondiente viene dada por,

$$Q=\int \mathrm{d}^{d-1} x \, j^{0}$$

que se puede verificar a través de la ecuación de continuidad y el teorema de Stokes que$Q$se conserva localmente.

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Recursos útiles: Introducción a la teoría cuántica de campos de Peskin y Schroeder