Ayuda para entender un concepto en el primer teorema de Noether

En primer lugar, mi opinión es que el documento en su enlace está lleno de inconsistencias de notación y, por lo tanto, causa una gran confusión para alguien que lucha por comprender el teorema de Noether. Entonces, permítanme formular la versión de la teoría de campos del teorema de Noether de una manera más, según mi gusto, encantadora.

Preliminares 1: Grupos de Lie y álgebras de Lie

Cada elemento de un$N$Mentira dimensional Grupo$G$puede ser parametrizado por un punto de un subespacio de${{\mathbf{R}}^{N}}$. En otras palabras, un elemento$g\in G$se puede considerar como un mapa:$g:{{\mathbf{R}}^{N}}\backepsilon \omega \mapsto {{g}_{\omega }}\in G$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que${{g}_{0}}=e$, el elemento de identidad de$G$. Ahora supongamos que tenemos un$n$-campo vectorial real dimensional:

$\varphi :\Omega \backepsilon x\mapsto \varphi \left( x \right)\in {{\mathbf{R}}^{n}}$

dónde$\Omega \subseteq {{\mathbf{R}}^{\left( 1,3 \right)}}$, con$n$componentes reales${{\varphi }_{i}}\ ,\ i=1,..,n$, tal que cumple la condición de frontera${{\left. \varphi \right|}_{\partial \Omega }}=0$. Además, suponga que un elemento de grupo${{g}_{\omega }}$se implementa como un$n$-representación dimensional de$G$. Ahora podemos considerar la transformación lineal:

${{g}_{\omega }}:\varphi \to {{g}_{\omega }}\varphi \quad ,\quad {{\left( {{g}_{\omega }}\varphi \right)}_{i}}:=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\left( {{g}_{\omega }} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Si$\varepsilon \in {{\mathbf{R}}^{N}}$es un punto infinitesimalmente cercano a$0$entonces${{g}_{\varepsilon }}$será un elemento de grupo que es "infinitesimalmente cercano" a la identidad$e$, en el sentido de que:

${{g}_{\varepsilon }}\varphi ={{g}_{0}}\varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\left[ \tfrac{\partial }{\partial {{\omega }_{I}}}{{g}_{\omega }}\varphi \right]}_{\omega =0}}}+\mathcal{O}\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)=\varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi }+\mathcal{O}\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)$

dónde${{T}_{I}}\varphi :={{\left[ \tfrac{\partial }{\partial {{\omega }_{I}}}{{g}_{\omega }}\varphi \right]}_{\omega =0}}$. los vectores${{T}_{I}}$formar una base de la$n$-representación dimensional del Álgebra de Mentira$\mathrm{}$de$G$y transforman el campo como:

${{T}_{I}}:\varphi \to {{T}_{I}}\varphi \quad ,\quad {{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\left( {{T}_{I}} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Preliminares 2: Formulación Lagrangiana y Principio de Hamilton

La dinámica del campo.$\varphi \left( x \right)$se puede codificar en la función de "densidad lagrangiana"$\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$, que es una función tal que las “ecuaciones de Euler-Lagrange”:

$\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}-{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}} \right)=0\quad ,\quad i=1,...,n$

son equivalentes a las ecuaciones de movimiento de los componentes del campo. Teniendo a nuestra disposición$\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$podemos reformular las ecuaciones de movimiento como principio variacional, el “Principio de Mínima Acción” (“principio de Hamilton”) de la siguiente manera:

i) Definir el “Funcional de acción” como:

$S\left[ \varphi \right]:=\int\limits_{\Omega }{\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right){{d}^{4}}x}$

ii) La derivada funcional de$S\left[ \varphi \right]$escriba el componente de campo${{\varphi }_{i}}$es una expresión de Lagrange, es decir:

$\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}-{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}} \right)$

donde para la derivación de este resultado la condición de frontera${{\left. \varphi \right|}_{\partial \Omega }}=0$se ha tenido en cuenta.

iii) De lo anterior deducimos que si el campo es un punto estacionario de$S\left[ \varphi \right]$, es decir, si:

$\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=0\quad ,\quad i=1,...,n$

entonces se cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange y viceversa. Concluyendo, las ecuaciones de movimiento del campo pueden ser derivadas por un principio variacional, el “Principio de Acción Mínima”. Este es el “principio de Hamilton”.

Definición de simetría Grupo

el grupo de la mentira$G$es un “grupo de simetría” para la teoría del campo$\varphi$si la acción es funcional$S\left[ \varphi \right]$es invariante (más generalmente, si difiere por un término límite${{S}_{\partial \Omega }}$) bajo la acción de cualquier${{g}_{\omega }}\in G$, es decir, si:$S\left[ {{g}_{\omega }}\varphi \right]=S\left[ \varphi \right]$En aras de la simplicidad, nos limitaremos al caso donde la densidad lagrangiana es invariante:

$\mathsf{L}\left( {{g}_{\omega }}\varphi ,{{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\omega }}\varphi \right) \right)=\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$

que es una condición suficiente para la invariancia de la acción. Investiguemos el caso donde${{g}_{\omega }}$es una transformación infinitesimal. Entonces los componentes del campo variarían como:

${{\delta }_{\varepsilon }}\varphi :={{g}_{\varepsilon }}\varphi -\varphi =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi }$

y sus derivadas espaciales como:

${{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{,\mu }}:={{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi \right)-{{\partial }_{\mu }}\varphi ={{\partial }_{\mu }}\left( \varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi } \right)-{{\partial }_{\mu }}\varphi ={{\partial }_{\mu }}\left( {{\delta }_{\varepsilon }}\varphi \right)$

Entonces el Lagrangiano variaría como:

$\begin{align} & {{\delta }_{\varepsilon }}\mathsf{L}:=\mathsf{L}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi ,{{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi \right) \right)-\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{i}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{i,\mu }} \right]} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\partial }_{\mu }}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}} \right]} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\partial }_{\mu }}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]}} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]-{{\partial }_{\mu }}\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]}} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }} \right)} \\ \end{align}$

dónde:

$J_{I}^{\mu }:=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}=\sum\limits_{i,j=1}^{n}{\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Entonces, la invariancia de la densidad lagrangiana se expresa como:

${{\delta }_{\varepsilon }}\mathsf{L}=0\Rightarrow \sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }} \right)=0}$

y desde${{\varepsilon }_{I}}$se consideran parámetros independientes, entonces la expresión anterior se cumple iff:

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\quad ,\quad I=1,..,N$

¡Este es el primer teorema de Noether! Ahora observe que si los campos son tales que obedecen a las ecuaciones de movimiento (están "en la cáscara" en la jerga de la física), es decir, si$\tfrac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=0$entonces:

${{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\quad ,\quad I=1,..,N$

es decir, que las corrientes$J_{I}^{\mu }$se conservan localmente. Esta es la esencia del teorema de Noether: establece que para cualquier simetría de una teoría física hay una corriente conservada correspondiente; en mi opinión es uno de los teoremas más bellos de la física. La ley de conservación anterior, que está en forma covariante, se puede volver a expresar como:

${{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\Rightarrow {{\partial }_{t}}J_{I}^{0}=-\nabla \cdot {{\mathbf{J}}_{I}}\Rightarrow {{\partial }_{t}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{J_{I}^{0}{{d}^{3}}x}=-\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{\left( \nabla \cdot {{\mathbf{J}}_{I}} \right){{d}^{3}}x}$

dónde${{\Omega }_{t}}$es una subsuperficie iso-temporal de$\Omega$. Usando el teorema de la divergencia de Gauss obtenemos:

${{\partial }_{t}}{{Q}_{I}}=-\int\limits_{\Sigma \equiv \partial {{\Omega }_{t}}}{{{\mathbf{J}}_{I}}\cdot d\,\mathbf{\Sigma }}$

dónde:

${{Q}_{I}}:=\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{J_{I}^{0}{{d}^{3}}x}$

Suponiendo una "condición de contorno de Dirichlet":

${{\left. {{\mathbf{J}}_{I}} \right|}_{\partial {{\Omega }_{t}}}}=0$

o una “condición de frontera de Neuman”:

${{\mathbf{J}}_{I}}\left( x \right)\cdot \mathbf{n}\left( x \right)=0\ ,\ \forall x\in \partial {{\Omega }_{t}}\quad |\quad d\mathbf{\Sigma }=\mathbf{n}d\Sigma$

entonces:

$\int\limits_{\Sigma \equiv \partial {{\Omega }_{t}}}{{{\mathbf{J}}_{I}}\cdot d\mathbf{\Sigma }}=0$

entonces el${{J}_{I}}$La conservación actual implica que la “carga”${{Q}_{I}}$es constante en el tiempo, es decir, que se conserva.