Estoy tratando de encontrar la carga de Noether para la simetría.
x → x + f( X )
Esta transformación debería dejar la acción invariante, por lo que
dS= S( x + f( X ) , ... ) -S( X ) = 0= ∫dt L ( x + f ( X ) ,X˙+F˙, ... , t ) - L ( X ,X˙, ... , t )
UsandoF( X + ϵ ) − F( X ) ≈ ϵdFdX
dS= ∫dt ∂L∂XF+∂L∂X˙F˙+∂L∂X¨F¨+ …
Escribiendo el segundo término como derivada total
dS= ∫dt ∂L∂XF+ddt[∂L∂X˙F] -fddt(∂L∂X˙) +∂L∂X¨F¨+ …=∂L∂X˙F∣∣∣T0+ ∫dt ∂L∂XF- fddt(∂L∂X˙) +∂L∂X¨F¨+ …
Para los términos de orden superior podemos hacer lo mismo
∂L∂X¨F¨=ddt(∂L∂X¨F˙) -F˙ddt(∂L∂X¨)=ddt(∂L∂X¨F˙) -ddt( fddt(∂L∂X¨) )+ fd2dt2(∂LdX¨)
Entonces ahora la integral se convierte en
dS=∑norte = 0norte∂L∂X( norte + 1 )F( n )∣∣∣T0+ ∫dtf _ [∑norte = 0norte( -1 ) _nortednortedtnorte(∂L∂X( n )) ] -ddt( fddt(∂L∂X¨) ) +…= 0
Donde la suma bajo la integral representa las ecuaciones de Euler-Lagrange para la acción imperturbable. Estoy esperando que los términos encuadrados también desaparezcan, dejando solo el primer término. ¿Lo hice bien, qué pasos me estoy perdiendo?
qmecanico