Teorema de Noether para hamiltonianos y lagrangianos

I) Como purista, desaprobé la praxis común de llamar a la implicación

$$\tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$$ para una 'versión hamiltoniana del teorema de Noether', cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

Además, la implicación (1) no es equivalente al teorema de Noether completo por varias razones. En primer lugar, la cuestión de la posible transformación singular de Legendre puede dificultar la comparación de las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas. En segundo lugar, el teorema de Noether también funciona para las llamadas variaciones horizontales de la forma$\delta t=\ldots$no contabilizado en (1).

Más bien, la implicación (1) es solo una consecuencia trivial de las ecuaciones de Hamilton. Véase también, por ejemplo, nLab .

II) Con respecto al ejemplo de OP del campo de Schrödinger libre, la formulación hamiltoniana se analiza, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE. Sugerencia de OP para dividir en partes reales e imaginarias

$$\tag{1} \phi~=~(\phi^1+i\phi^2)/\sqrt{2}$$ estrictamente hablando no es necesario, cf. por ejemplo , esta publicación Phys.SE, pero la lógica es algo más simple si uno se divide. El corchete de Poisson fundamental distinto de cero dice

$$\tag{2} \{\phi^1({\bf x},t),\phi^2({\bf y},t)\}~=~\delta^3 ({\bf x}-{\bf y}).$$

El infinitesimal global(=${\bf x}$-independiente) simetría de fase

$$\tag{3} \delta \phi~=~-i\epsilon \phi,$$

dónde$\epsilon$es un parámetro infinitesimal, se lee en componentes

$$\tag{4} \delta \phi^1~=~\epsilon \phi^2\qquad\text{and}\qquad \delta \phi^2~=~-\epsilon \phi^1.$$

El componente cero de la corriente Noether 4 es entonces

$$\tag{5} j^0~:=~\phi^2\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^1} -\phi^1\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^2}~=~|\phi|^2.$$

Por lo tanto, la carga de Noether es

$$\tag{6} Q(t)~:=~ \int d^3x~ j^0({\bf x},t)~=~ \int d^3x|\phi({\bf x},t)|^2.$$

Es sencillo ver que esta carga de Noether (6) genera la simetría de fase global infinitesimal (4)

$$\tag{7} \delta \phi^1~=~\epsilon \{\phi^1,Q\} \qquad\text{and}\qquad \delta \phi^2~=~\epsilon\{\phi^2,Q\} ;$$

que conmuta en Poisson con la densidad hamiltoniana

$$\tag{8} {\cal H}~:=~\frac{1}{2m}|\nabla\phi|^2 ~=~\frac{1}{4m}(\nabla\phi^1)^2 +\frac{1}{4m}(\nabla\phi^2)^2;$$

y que se conserva en la cáscara.