Corrientes conservadas del teorema de Noether

Question

Corrientes conservadas del teorema de Noether

Fiesta de la columna vertebral

No estoy seguro si entiendo bien el concepto. Dada una transformación infinitesimal

ϕ \to ϕ + α Δ ϕ

$\phi \rightarrow \phi + \alpha \Delta\phi$

el cambio en la densidad lagrangiana $\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$ es

L \to L + α Δ L

$\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} + \alpha \Delta\mathcal{L}$

Para que la transformación sea una simetría, el nuevo Lagrangiano puede diferir solo en una cuádruple divergencia, de modo que

Δ L = \partial_{m} j^{m}

$\Delta\mathcal{L} = \partial_\mu J^\mu$

para algunos cuatro vectores $J^\mu$ .

Ahora, tenemos, usando ecuaciones EL, la identidad

\partial_{m} j^{m} = \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} Δ ϕ)

$\partial_\mu J^\mu = \partial_\mu\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\right)$

De donde finalmente la "corriente conservada" es:

j^{m} \equiv j^{m} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} Δ ϕ

$j^\mu \equiv J^\mu-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi$

De todos modos, estoy tratando de hacer un cálculo para un ejemplo concreto del Lagrangiano. $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$ y transformación $\phi \rightarrow \phi + \alpha$ por constante $\alpha$ .

Para esto, $\Delta\mathcal{L} = 0 = \partial_\mu J^\mu$ . También $\Delta\phi = 1$ . Entonces

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} Δ ϕ = \partial^{m} ϕ

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi = \partial^\mu \phi$

Y

j^{m} = j^{m} - \partial^{m} ϕ

$j^\mu = J^\mu - \partial^\mu \phi$

Peskin y Schroeder dicen que la corriente conservada es solo $j^\mu = \partial^\mu \phi$ . Supongo que esto se debe a que está definido hasta una divergencia de 4. Entonces en este caso $J^\mu$ se puede omitir y tampoco importa el signo menos, ya que también se define hasta una constante multiplicativa.

Por favor, corrija mi comprensión de esto. Lo que más me cuesta entender aquí es cómo se definen los diferentes objetos 'hasta' algo.

AccidentalFourierTransformar

Como

Δ L = 0

$\Delta\mathcal L=0$ , tienes

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ . Por lo tanto,

j^{μ} \propto \partial^{μ} ϕ

$j^\mu\propto\partial^\mu\phi$ (te pones a

- 1

$-1$ la constante de proporcionalidad, P&S a

+ 1

$+1$ : el valor real es irrelevante. Si

j^{μ}

$j^\mu$ se conserva, también

{\tilde{j}}^{μ} = A j^{μ}

$\tilde j^\mu=A j^\mu$ para cualquier

A \in C

$A\in\mathbb C$ ). Encontraste la respuesta correcta, pero la cuestión es que la respuesta no es única. por eso el suyo y el de P&S difieren. (tenga en cuenta que

\partial_{μ} J^{μ} = 0

$\partial_\mu J^\mu=0$ no implica que

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ , pero como

j^{μ}

$j^\mu$ se define módulo un campo cerrado, se puede configurar

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ WLOG).

Fiesta de la columna vertebral

Explique qué quiere decir con 'módulo definido un campo cerrado'. Sospecho que este es el quid de la cuestión.

gentil

Recomendaría derivar primero el teorema de Noether sin el

J^{μ}

$J^{\mu}$ y solo entonces darse cuenta de que si uno agrega una corriente adicional, nada realmente cambia mucho.

AccidentalFourierTransformar

@DepeHb Un campo cerrado

f^{μ}

$f^\mu$ es cualquier campo tal que

\partial_{μ} f^{μ} = 0

$\partial_\mu f^\mu=0$ . Por ejemplo,

j^{μ}

$j^\mu$ es un campo cerrado. Si agrega dos campos cerrados, el resultado también se cierra (

\partial_{μ} (f^{μ} + j^{μ}) = \partial_{μ} f^{μ} + \partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu(f^\mu+j^\mu)=\partial_\mu f^\mu+\partial_\mu j^\mu=0$ ). Esto significa que la corriente de Noether

j^{μ}

$j^\mu$ no es único: si agrega cualquier campo cerrado a

j^{μ}

$j^\mu$ , la corriente resultante también se conserva, por lo que es igualmente válida que la corriente original. En tu ejemplo, no sabes qué

J^{μ}

$J^\mu$ está, pero está seguro de que está cerrado. Por lo tanto, puede establecer

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ WLOG.

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¿Qué pasa si hay un campo escalar complejo? ¿Hay dos corrientes conservadas?

Respuestas (1)

Corrientes conservadas del teorema de Noether

Como $\Delta\mathcal L=0$ , tienes $J^\mu=0$ . Por lo tanto, $j^\mu\propto\partial^\mu\phi$ (te pones a $-1$ la constante de proporcionalidad, P&S a $+1$ : el valor real es irrelevante. Si $j^\mu$ se conserva, también $\tilde j^\mu=A j^\mu$ para cualquier $A\in\mathbb C$ ). Encontraste la respuesta correcta, pero la cuestión es que la respuesta no es única. por eso el suyo y el de P&S difieren. (tenga en cuenta que $\partial_\mu J^\mu=0$ no implica que $J^\mu=0$ , pero como $j^\mu$ se define módulo un campo cerrado, se puede configurar $J^\mu=0$ WLOG).
Explique qué quiere decir con 'módulo definido un campo cerrado'. Sospecho que este es el quid de la cuestión.
Recomendaría derivar primero el teorema de Noether sin el $J^{\mu}$ y solo entonces darse cuenta de que si uno agrega una corriente adicional, nada realmente cambia mucho.
@DepeHb Un campo cerrado $f^\mu$ es cualquier campo tal que $\partial_\mu f^\mu=0$ . Por ejemplo, $j^\mu$ es un campo cerrado. Si agrega dos campos cerrados, el resultado también se cierra ( $\partial_\mu(f^\mu+j^\mu)=\partial_\mu f^\mu+\partial_\mu j^\mu=0$ ). Esto significa que la corriente de Noether $j^\mu$ no es único: si agrega cualquier campo cerrado a $j^\mu$ , la corriente resultante también se conserva, por lo que es igualmente válida que la corriente original. En tu ejemplo, no sabes qué $J^\mu$ está, pero está seguro de que está cerrado. Por lo tanto, puede establecer $J^\mu=0$ WLOG.
¿Qué pasa si hay un campo escalar complejo? ¿Hay dos corrientes conservadas?

Bruce Lee · Answer 1

Para el caso dado desde $\partial _\mu J^{\mu} = 0$ , no hay necesidad de agregar este término límite a la corriente conservada $j^{\mu}$ ya que la adición no tiene sentido, ya que no jugará ningún papel, excepto sumar un factor sin sentido. Ya tenemos para la ecuación de la corriente conservada $\partial_{\mu} j^{\mu} = 0$ y podemos optar por añadir cualquier término $a^{\mu}$ a $j^{\mu}$ siempre y cuando satisfaga $\partial _{\mu} a^{\mu} = 0$ . Por lo tanto, es realmente irrelevante tener la $J^{\mu}$ parte.

En cuanto a la segunda parte de la pregunta, tiene razón al decir que el signo menos se puede omitir ya que se define como una constante multiplicativa.

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