Prueba elemental del hecho de que cualquier 3-variedad orientable es paralelizable

No conozco una prueba totalmente elemental de este resultado, pero aquí hay un contexto para ello. Más generalmente, un$n$-colector$M$(sin límite) tiene un mapa de clasificación$f : M \to BO(n)$por su haz tangente. saber cuando$M$es paralelizable es equivalente a saber cuándo$f$es homotópico nulo. Hay una máquina general para hacer esto que implica levantar$f$más y más alto a través de las etapas de la torre Whitehead de$BO(n)$, y nos dice que el conjunto completo de obstrucciones para resolver este problema son un conjunto de clases de cohomología en$H^k(M, \pi_k(BO(n)), k \le n$, cada uno de los cuales está bien definido siempre que el anterior desaparezca, tal que$f$es homotópico nulo si todas las clases desaparecen.

La construcción de la primera clase de este tipo es así. Supongamos por simplicidad que$M$está conectado. La primera pregunta es si$f$ascensores a la cubierta universal de$BO(n)$, lo cual es cierto si$f$induce el mapa cero en$\pi_1$por la teoría del espacio de cobertura estándar. Ahora,$\pi_1(BO(n)) \cong \mathbb{Z}_2$, y el mapa inducido en$\pi_1$da un homomorfismo$\pi_1(M) \to \mathbb{Z}_2$que corresponde precisamente a la primera clase de Stiefel-Whitney$w_1$. Esta clase desaparece iff$f$ascensores a la cubierta universal de$BO(n)$, cual es$BSO(n)$, si$M$es orientable.

Ahora queremos intentar levantar$f$hacia$2$-cubierta conectada de$BSO(n)$; esto es análogo a la cobertura universal pero implica matar$\pi_2(BSO(n)) \cong \mathbb{Z}_2$(para$n \ge 3$) en lugar de$\pi_1$. Si esto es posible está controlado por el mapa.

induciendo un isomorfismo en$\pi_2$. Esta es equivalentemente una clase característica universal en$H^2(BSO(n), \mathbb{Z}_2)$que resulta ser precisamente la segunda clase de Stiefel-Whitney$w_2$. Esta clase desaparece iff$f$ascensores a la$2$-cubierta conectada de$BSO(n)$, cual es$BSpin(n)$, si$M$tiene una estructura de espín.

La primera sorpresa de esta historia es que (cuando$n \ge 3$)$BSpin(n)$también resulta ser el$3$-cubierta conectada; en otras palabras,$\pi_3(BSpin(n)) = 0$, por lo que el siguiente paso de esta historia implica$\pi_4$y puede ser ignorado por$3$-colectores. Si$M$es un$3$-variedad, no necesariamente compacta, admitiendo tanto una orientación como una estructura de espín, entonces el mapa clasificador de su paquete tangente se eleva a un mapa$M \to BSpin(3)$, pero dado que este último es$3$-conectado cualquier mapa de este tipo es nulohomotópico. Entonces:

A$3$-variedad, no necesariamente cerrada, es paralelizable si y solo si las dos primeras clases de Stiefel-Whitney$w_1, w_2$se desvanece si admite una orientación y una estructura de espín.

Para dar una indicación de la generalidad de esta maquinaria, por$4$-variedades el siguiente paso consiste en computar$\pi_4(BSpin(4)) \cong \mathbb{Z}^2$y luego levantando hacia el$4$-cubierta conectada de$BSpin(4)$, Lo que es llamado$BString(4)$. Esto dice que la próxima obstrucción a un$4$-variedad con una orientación y una estructura de espín que son paralelizables es un par de clases de cohomología en$H^4(M, \mathbb{Z})$que creo que resultan ser la clase de Euler$e$y la primera clase fraccional de Pontryagin$\frac{p_1}{2}$(una cierta clase característica de variedades de espín que cuando se duplica da la clase de Pontryagin$p_1$) respectivamente. Desde$H^4(M, \mathbb{Z})$está siempre libre de torsión para un$4$-variedad, la conclusión es que

A$4$-variedad, no necesariamente cerrada, es paralelizable si y solo si las clases características$w_1, w_2, e, p_1$todo desaparece si admite una orientación, una estructura de espín y una estructura de cuerdas .

Y para$5$-múltiples y superiores de los que realmente tenemos que hablar$\frac{p_1}{2}$y no solo$p_1$.

La segunda sorpresa en esta historia es que por cerrado$3$-multiplica la condición de que$w_2$desaparece es redundante: está implícito en la orientabilidad mediante un cálculo estándar con clases de Wu . En otras palabras, cerrado orientable$3$-las variedades admiten automáticamente estructuras de espín. No tengo una buena explicación intuitiva de esto; proviene de una relación entre las clases de Stiefel-Whitney, las operaciones de Steenrod y la dualidad de Poincaré que no entiendo muy bien.

Aquí está (en mi opinión) el enfoque descrito en Milnor-Stasheff. Dejar$M$ser un triple cerrado, orientable,$w_i$denota el$i$la clase de Whitney, y$o_i$el$i$Clase de obstrucción tal como se define en la Topología de haces de fibras de Steenrod . Como$M$es orientable,$w_1=0$y un cálculo directo con la fórmula de Wu da$w_2$y$w_3=0$también.

De un comentario en el capítulo 12 de Milnor-Stasheff, tenemos$o_2$desaparece Entonces existe un marco de 2 sobre el esqueleto de 2 de$M$(pensando en$M$como un complejo CW de 3 dim). Como$\pi_2(V_2(\Bbb R^3))$es trivial por alguna teoría básica de homotopía, el marco de 2 se extiende sobre$M$(uno simplemente toma una homotopía nula del mapa en el límite para que sea el mapa en las 3 celdas).

Ahora tenemos un paquete trivial de 2 planos dentro de$TM$. al dotar$TM$con una métrica podemos encontrar un complemento para dicho paquete de 2 planos, que es orientable, por lo tanto, trivial. Entonces$TM$es la suma de Whitney de paquetes triviales, por lo tanto, triviales.

Benedetti y Lisca escribieron un artículo sobre esta misma pregunta. Escriben "las respuestas dadas [sobre esta pregunta] hasta el 18 de julio de 2018 utilizan las mismas herramientas empleadas en las pruebas mencionadas anteriormente", y dan tres respuestas más elementales. https://arxiv.org/abs/1806.04991

Cf. "Sobre algunos teoremas de Geroch y Stiefel" por Phillip E. Parker, Journal of Mathematical Physics 25, 597 (1984); https://doi.org/10.1063/1.526209 Donde "Se dan demostraciones modernas de dos teoremas de Geroch (los espaciotiempos de espinor y los espaciotiempos globalmente hiperbólicos son paralelizables) y un teorema de Stiefel (las 3 variedades orientables son paralelizables), utilizando el método computacionalmente eficiente teoría de la obstrucción de la topología algebraica. Estas técnicas también muestran fácilmente que, de hecho, el segundo teorema de Geroch es un corolario del teorema de Stiefel".

Kirby da una buena prueba de que cada variedad orientable de 3 es paralelizable en https://math.berkeley.edu/~kirby/papers/Kirby%20-%20The%20topology%20of%204-manifolds%20-%20MR1001966.pdf . (Consulte la página no en blanco no numerada entre la página 46 y la página 47).