Haces de fibras, superficies hiperbólicas y geometrías de Thurston

Dejar METRO sea ​​una variedad de 3 que es el espacio total de un haz de fibras (con fibra y base no triviales conectadas) con la fibra o la base como una superficie hiperbólica. Entonces hace METRO admitir siempre una geometría de Thurston?

El grupo fundamental de una superficie hiperbólica no es virtualmente solucionable. Por lo tanto, cualquier haz con una superficie hiperbólica como base o fibra no puede tener un grupo fundamental virtualmente resoluble. Entonces solo puede admitir S L 2 ~ , H 2 × mi 1 o H 3 geometría.

Teniendo esto en cuenta, aquí hay algunos ejemplos de paquetes con estas tres geometrías:

S L 2 ~ : El paquete tangente unitario de cualquier superficie hiperbólica.

H 2 × mi 1 : El toroide de mapeo de cualquier clase de mapeo periódica (orden finito) de una superficie hiperbólica. Incluyendo el producto trivial de un círculo con cualquier superficie hiperbólica.

H 3 : El toroide de mapeo de cualquier clase de mapeo pseudo-Anosov de una superficie hiperbólica.

Otra cosa a tener en cuenta: el grupo fundamental de un paquete circular siempre contiene una copia normal de Z por homotopía LES. Así, un haz circular sobre una superficie hiperbólica

S 1 → METRO → Σ gramo
tiene un grupo fundamental que contiene una normal Z subgrupo. Por lo tanto, un paquete circular sobre una superficie hiperbólica solo puede admitir S L 2 ~ o H 2 × mi 1 geometría (tales ejemplos de haces circulares se dan arriba con el haz unitario tangente admitiendo S L 2 ~ geometría y el haz circular trivial admitiendo H 2 × mi 1 geometría).

Respuestas (1)

No, METRO no siempre admite una geometría de Thurston. Lo que hay que tener en cuenta es que (fuera de un pequeño número de excepciones que probablemente conozcas) las geometrías de Thurston ocurren solo cuando la variedad es irreducible, y en ese caso solo cuando la variedad es atoroidal o toroidal y tiene uno de las geometrías que no sean H 3 que permiten muchos toros, a saber, geometrías de productos, geometrías de fibras circulares, geometría NIL, geometría SOLV.

Uno puede evitar esas situaciones construyendo una variedad de 3 METRO que las fibras sobre S 1 con una fibra F que es una superficie cerrada y orientada del género gramo ≥ 2 , que no es atoroidal, y que no tiene ninguna geometría de fibras circulares. Para ello, tome un homeomorfismo h : F → F para el cual hay una curva cerrada simple C ⊂ F con complemento conexo, tal que h ( C ) = C y tal que h ∣ F − C es un homeomorfismo pseudo-Anosov. La construcción del toro de mapeo

METRO h = F × [ 0 , 1 ] / ( X , 1 ) ∼ ( F ( X ) , 0 )
produce el contraejemplo deseado; tiene, hasta la isotopía, un solo toro incompresible, a saber T = C × [ 0 , 1 ] / ( X , 1 ) ∼ ( F ( X ) , 0 ) ; y tiene geometría hiperbólica en el complemento METRO h − T .

Veo. ¿Todos estos contraejemplos involucran superficies hiperbólicas? ¿Conoce algún contraejemplo en el que la fibra y la base no sean hiperbólicas? Por ejemplo, un grupo de círculos sobre R PAG 2 que no admite ninguna geometría de Thurston?
Esa es otra pregunta, pero creo que el círculo se agrupa R PAG 2 todos tienen S 2 × S 1 o S 3 geometría.
Me parece bien. He separado las dos preguntas: math.stackexchange.com/questions/4385644/…
Ya veo, entonces lo que has hecho aquí es construir explícitamente un homeomorfismo de una superficie hiperbólica cuya clase de mapeo no es periódica ni pseudo-Anosov. ¿Es cierto que un toro de mapeo de una superficie hiperbólica admite una geometría de Thurston si y solo si la clase de mapeo es periódica o pseudo-Anosov?
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