Campo vectorial normal de la porción de tiempo constante de Kerr

Tendrá que tener cuidado con todo el formalismo 3+1 en el caso de que tenga un lapso y un cambio no triviales. (lo cual es cierto aquí).

En ese idioma, su 3-métrica está dada por:

$$\gamma_{ab} = n_{a}n_{b} + g_{ab}$$

dónde$n_{a}$es su unidad normal a la hipersuperficie encontrada al elegir$t =$constante Pero, debido a que su variable de tiempo y una de sus variables de ángulo no son ortogonales, la evolución del tiempo implicará una "evolución espacial en las coordenadas", y tiene su vector de evolución del tiempo igual a$t^{a} = -\alpha n^{a} + \beta^{a}$, dónde$\alpha$y$\beta^{a}$son la función de lapso y el vector de desplazamiento. Desde$t$tiene que ser compatible con la condición$t^{a}\nabla_{a}t = 1$, esto debe significar que$\alpha = \frac{1}{\sqrt{-t^{a}t_{a}}}$

Ahora que hemos asociado la evolución temporal con la$t^{a}$vector, podemos descomponer

$$ds^{2} = g_{ab}dx^{a}dx^{b}$$

en

$$ds^{s} = g_{ab}\left(t^{a}dt + \gamma^{a}_{c}dx^{c}\right)\left(t^{b}dt + \gamma^{b}_{d}dx^{d}\right)$$

Que luego se convierte en:

$$ds^{2} = -\left(\alpha^{2} - \beta^{i}\beta_{j}\right)dt^{2} + 2dt\,dx^{i}\beta_{i} + \gamma_{ij}dx^{i}dx^{2}$$

Desde el cual puede leer los valores de los vectores Lapse y shift compatibles con su métrica inicial y elección de foliación temporal.

Una vez que tenga los vectores de lapso y desplazamiento, solo es cuestión de invertir su ecuación para$t^{a}$para calcular el vector normal.

Mi pregunta es: ¿cuál es el campo vectorial normal en el espacio-tiempo a esta hipersuperficie? ¿Es tan simple como normalizar el campo vectorial ∂t?

$\partial_t$no es ortogonal a$\partial_\phi$. Necesitas un nuevo campo vectorial$V=\partial_t+f\partial_\phi$, tal que$g(V,\partial_\phi)$es cero ($g(V,\partial_\theta)$y$g(V,\partial_r)$son cero trivialmente), es decir

$$0=g_{t\phi}+fg_{\phi\phi}\Rightarrow f=\frac{-g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}$$