Elementos no diagonales de la métrica de Schwarzchild

Question

Elementos no diagonales de la métrica de Schwarzchild

Jeannette

La métrica de Schwarzchild es la solución de vacío esféricamente simétrica más general de las ecuaciones de campo de Einstein.

Me preguntaba si había un argumento simple para explicar por qué la métrica de Schwarzchild es diagonal en el sistema de coordenadas esféricas, es decir, de la forma

d s^{2} = d t^{2} + \dots d θ^{2} + \dots d ϕ^{2} + \dots d r^{2} .

$ds^2 = dt^2 + \cdots d\theta^2 + \cdots d\phi^2 + \cdots dr^2.$

Este artículo de Wikipedia da una explicación realmente simple que parece falsa.

(Cuando escribes la ley de transformación para $g_{\mu 4}$ , debe entenderse:

{gramo}_{m 4}^{'} (X^{'}) = \frac{\partial X^{α}}{\partial X^{' m}} \frac{\partial X^{β}}{\partial X^{' 4}} {gramo}_{α β} (X) = - {gramo}_{m 4} (X),

$g'_{\mu 4} (x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^4}g_{\alpha\beta}(x)= -g_{\mu 4}(x) ,$ mientras que al mismo tiempo la invariancia te dice que

{gramo}_{m 4}^{'} (X^{'}) = {gramo}_{m 4} (X^{'}) .

$g'_{\mu 4}(x') = g_{\mu 4}(x') .$ Esto lleva a la conclusión de que

{gramo}_{m 4} (X^{'}) = - {gramo}_{m 4} (X),

$g_{\mu 4}(x') = -g_{\mu 4}(x) ,$ pero no veo cómo ir más lejos en el razonamiento sin ninguna suposición adicional.)

Otras derivaciones parten de la forma diagonal o son mucho más complicadas.

Probablemente sea una pregunta tonta, pero no veo un argumento simple.

Jeannette

Estoy bien con la parte de la ley de transformación general, pero no hay razón para decir eso

g_{μ, ν}

$g_{\mu,\nu}$ es invariante bajo esas simetrías.

Profesor Legolasov

- Me preguntaba si había un argumento simple para explicar por qué la métrica de Schwarzchild es diagonal en el sistema de coordenadas esféricas. Puede que me esté perdiendo algo aquí, pero ¿no es el hecho de que solo sea diagonal una explicación en sí misma ? Y sobre las coordenadas esféricas: es más bien por el hecho de que la métrica es de esta forma particularmente simple en estas coordenadas que las llamamos esféricas, y no al revés.

Respuestas (1)

Elementos no diagonales de la métrica de Schwarzchild

Estoy bien con la parte de la ley de transformación general, pero no hay razón para decir eso $g_{\mu,\nu}$ es invariante bajo esas simetrías.
- Me preguntaba si había un argumento simple para explicar por qué la métrica de Schwarzchild es diagonal en el sistema de coordenadas esféricas. Puede que me esté perdiendo algo aquí, pero ¿no es el hecho de que solo sea diagonal una explicación en sí misma ? Y sobre las coordenadas esféricas: es más bien por el hecho de que la métrica es de esta forma particularmente simple en estas coordenadas que las llamamos esféricas, y no al revés.

qmecanico · Answer 1

OP tiene razón: para una variedad pseudo-riemanniana genérica $(M;g)$ , no necesariamente existe una vecindad de coordenadas abiertas $U\subseteq M$ , donde la métrica $g_{|U}$ está en forma diagonal. Las coordenadas normales de Fermi siempre aseguran una forma diagonal a lo largo de una geodésica $\gamma$ (pero no necesariamente en el espacio-tiempo ambiental fuera de la geodésica). Sin embargo, la geometría de Schwarzschild tiene simetrías Killing que aseguran que existan métricas diagonales en vecindarios abiertos.

Elementos no diagonales de la métrica de Schwarzchild

Jeannette

Jeannette

Profesor Legolasov

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qmecanico

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