Definición de ''espaciotiempos estáticos'' de vectores Killing

Consideremos la siguiente métrica en$2+1$dimensiones:

$$\mathrm{d}s^2 = \tilde{g}_{tt} \, \mathrm{d}t^2 + g_{rr} \, \mathrm{d} r^2 + g_{\phi \phi} \,( \mathrm{d} \phi - \omega \, \mathrm{d} t)^2,$$ donde los componentes métricos son funciones de$r$y$\phi$solo. (Tenga en cuenta que el componente métrico$g_{tt} = \tilde{g}_{tt} + \omega^2 g_{\phi \phi}<0$.)

Si bien es cierto que la hipersuperficie bidimensional definida por una constante$t$tendrá el mismo elemento de línea para todos$t$, no es cierto que el vector Killing$\xi^\mu = (1, 0, 0)$será ortogonal a esta hipersuperficie.

Tenga en cuenta que cuando decimos que un vector es ortogonal a una superficie, significa que el vector será ortogonal a todos los vectores que son tangentes a la superficie. La hipersuperficie de constante$t=t_0$se puede describir mediante la ecuación vectorial,

$$x^\mu = ( t_0, \, r , \, \phi),$$ dónde$r$y$\phi$parametrizar la superficie. Dejar$y_a$ser coordenadas en la hipersuperficie. Las coordenadas naturales en la hipersuperficie son, por supuesto,$r$y$\phi$. El conjunto de vectores tangentes sobre la hipersuperficie viene dado por, $$e^\mu_{(a)} = \frac{\partial x^\mu}{\partial y^a}.$$ Explícitamente, las componentes de los dos vectores tangentes están dadas por, $$e^\mu_{(r)} = (0, 1, 0) ,$$ y $$e^\mu_{(\phi)} = (0, 0, 1) .$$ Diremos que el vector Killing es ortogonal a la hipersuperficie si para cada$a$, $$g_{\mu \nu} \xi^\mu e^\nu_{(a)} = 0.$$ Nótese que esta condición se cumple cuando$a=r$. Sin embargo, debido a la presencia del componente fuera de la diagonal distinto de cero de la métrica, $$g_{t\phi} = - \omega g_{\phi \phi},$$ tendríamos, $$g_{\mu \nu} \xi^\mu e^\nu_{(\phi)} = g_{t\phi} = - \omega g_{\phi \phi}.$$ Así, cuando$\omega \neq 0$, el vector Killing nunca es ortogonal a la hipersuperficie de constante$t$. Si$\omega = 0$, el vector Killing sería ortogonal a la hipersuperficie y el espacio-tiempo sería estático.

Intuitivamente, un espacio-tiempo es estático cuando el elemento de línea es invariable bajo inversión de tiempo.$t \to - t$, en el sistema de coordenadas habitual. Para hacer una declaración más precisa, si un campo de vector Killing similar al tiempo$\xi$satisface

$$\xi_{[\mu} \nabla_\nu \xi_{\rho]} =0,$$ entonces es ortogonal a la hipersuperficie y el espacio-tiempo es estático. Consulte la discusión en la sección 1.3 de las notas a las que se refiere. También puede echar un vistazo al libro de texto GR de Wald.

Como alternativa, un punto de vista más geométrico, considere el vector Killing$\partial_t$en cada punto, e imagina el (hiper-)plano ortogonal a cada vector. El campo vectorial será ortogonal a la hipersuperficie si es posible hacer que todos estos planos encajen como planos tangentes de una familia de hipersuperficies.

Como ejemplo, considere un campo vectorial radial en el espacio 3D euclidiano y nuevamente imagine todos los planos ortogonales al vector en cada punto del espacio. ¿Es posible llenar el espacio con superficies tales que cada plano sea tangente a una de las superficies? Sí, por supuesto, mediante el uso de esferas. Los planos correspondientes a todos los vectores en un radio fijo encajan entre sí para formar una esfera.

Pero ahora tomemos el espacio-tiempo de Kerr y miremos solo el plano ecuatorial, de modo que tengamos algo tridimensional que podamos representar. Los planos "horizontales", aquellos atravesados ​​por los vectores$\{\partial_r, \partial_\phi\}$en cada punto, no son ortogonales al vector Killing! Eso es, por supuesto, debido a la$g_{t\phi}$elemento en la métrica. En cambio, el plano ortogonal a cada vector$\partial_t$está inclinado ; está atravesado por los vectores$\partial_t$y$- g_{t\phi} \partial_t + g_{tt}\partial_\phi$, por lo que apunta un poco en la dirección de rotación.

Y esto es lo que hace que el vector Killing similar al tiempo no sea ortogonal a la hipersuperficie, y puedes ver por qué está estrechamente relacionado con la rotación del espacio-tiempo y el arrastre del marco. Si no hubiera rotación, cada$\partial_t$sería ortogonal a un plano "horizontal", y estos planos podrían encajar en un gran$t = \text{const}$superficie. Pero como los planos están inclinados, no puedes hacerlos tangentes a una superficie.