(Buen resultado. No lo sabía.)
La afirmación correcta es la siguiente.
proposición _ Suponer queF= f( q, pag )
ygramo= gramo( q, pag )
son un par de funciones suaves definidas en un conjunto abiertoΩ⊂ _R2
tal que{ f, gramo} = 0
al respecto Luego, en un barrio de cualquier(pag0,q0) ∈ Ω
podemos escribir cualquieraF( pag , q) = F( gramo( pag , q) )
ogramo( pag , q) = G ( f( pag , q) )
para alguna función suaveF= F( X )
oGRAMO = GRAMO ( X )
dependiendo de dicho barrio.
prueba _ La tesis es verdadera siF
ogramo
es constante alrededor(pag0,q0)
desdeF
oGRAMO
puede elegirse constante en ese caso. Supongamos que al menos una de las funciones no es constante, digamosgramo
. Sigramo
no es constante, al menos una derivada de∂paggramo|(q0,pag0)
y∂qgramo|(q0,pag0)
no se desvanece y por lo tanto no se desvanece en un barrio de(q0,pag0)
por continuidad. Suponer∂qgramo|(q0,pag0)≠ 0
(los casos restantes son similares). El teorema de Dini asegura que es posible escribirq= q( gramo, pag )
en una vecindad de dicho punto dondeq= q( gramo, pag )
es suave ygramo
ypag
son variables independientes. Por lo tanto{ f, gramo} = 0
se puede reformular como
∂F∂pag=∂F∂q∂gramo∂pag∂gramo∂q= −∂F∂q∂q∂pag(1)
(Solía
gramo= gramo( q( gramo, p ) , p )
, entonces tomando el total
pag
derivada de ambos lados ya que
pag
y
gramo
son variables independientes:
0 =∂gramo∂q∂q∂pag+∂gramo∂pag
y por lo tanto
−∂gramo∂pag/∂gramo∂q=∂q∂pag
). A continuación, considere el mapa compuesto
F∗( gramo, pag ) : = f( q( gramo, p ) , p )(2)
Calculemos el
pag
-derivada teniendo en cuenta (1):
∂F∗∂pag=∂F∂pag+∂F∂q∂q∂pag= −∂F∂q∂q∂pag+∂F∂q∂q∂pag= 0.
Entonces
F∗
en (2) no depende de
pag
, Como consecuencia
F( q, p ) =F∗( gramo( q, p ) ),
como quisiera si definiendo
F: =F∗
. QED
qmecanico
Valter Moretti