Prueba de que Nuestro Planeta es 1D

Creo que te refieres a las curvas que llenan el espacio y cómo pueden asignar un segmento de línea a más de una dimensión. Por ejemplo, la curva de llenado de espacios de Hilbert se puede usar para mapear el intervalo$[0,1]$a$[0,1]\times[0,1]$.

Me temo que si bien es posible una biyección continua unidireccional, no es posible tener un homeomorfismo entre dos espacios euclidianos diferentes de diferentes dimensiones. Un homeomorfismo es una aplicación que es continua, biyectiva y tiene su inversa continua. No se puede construir un homeomorfismo. ¡Por lo tanto, la Tierra no puede ser 1D!

Ver: Propiedades topológicas del espacio real de coordenadas

La respuesta de Varun básicamente lo dice todo, pero tal vez también sea útil para explicar por qué queremos un homeomorfismo en lugar de solo una biyección.

Toda la idea de modelar el "espacio físico real" por un euclidiano$\mathbb{R}^3$es para que podamos hacer predicciones sobre procesos físicos, como cómo se propaga una onda electromagnética. Por lo general, usamos ecuaciones diferenciales para ese propósito o integrales de trayectoria. Esos modelos son locales , es decir, no importa qué tan grande sea el proceso que describimos, en última instancia puede dividirse en procesos fundamentales que tienen lugar en segmentos de espacio arbitrariamente pequeños. Esto es con respecto a la norma euclidiana: para cada punto y cada "precisión deseada", existe una vecindad abierta, un diminuto espacio vectorial propio, en el que tenemos algunas ecuaciones simples que describen la física.
Es esta norma la que también induce la topología de$\mathbb{R}^3$– un espacio topológico es básicamente un conjunto junto con la noción de qué subconjuntos son vecindarios locales.

Si asignamos el espacio físico a algún otro espacio usando un homeomorfismo, entonces los vecindarios abiertos se "preservan" (se asignan nuevamente a los vecindarios abiertos). Además, no tenemos nuevos vecindarios. Entonces, un modelo físico local en el nuevo espacio homeomorfo es equivalente a un modelo físico local en el espacio original.

Las cosas se ven muy diferentes si mapeas a un espacio de diferente dimensionalidad usando algo como una curva de relleno de espacio de Hilbert. Esos mapeos son fuertemente no homeomorfos, es decir, vecindarios abiertos en$\mathbb{R}^3$generalmente se asignará a una colección de infinitos fragmentos desconectados. Cualquier modelo que fuera simple en$\mathbb{R}^3$se traduce en un desastre horrible en$\mathbb{R}$, e incluso si encuentra una descripción algebraica utilizable, dependerá en gran medida de qué curva de relleno de espacio utilizó exactamente. Cualquier modelo de este tipo será no local, es decir, se verá completamente diferente de las formas en que estamos acostumbrados a describir la física. Para hacer cálculos útiles, probablemente necesitará volver a$\mathbb{R}^3$primero, use el modelo simple allí, y transforme a$\mathbb{R}$otra vez. Esto no tiene sentido.

Es imposible. Supongamos que la línea real,$\mathbb{R}$, es tu espacio 1D y eso$\alpha:\mathbb{R}\to \mathrm{Earth}$es un homeomorfismo (la física es más que solo una topología, pero al menos la topología de ambos lados debería coincidir). Luego elimine un punto en cada espacio, digamos$\mathbb{R}_\times$y$\mathrm{Earth}_\times$. la restricción,$\alpha_\times$, induce iso entre

lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no existe tal mapa.

Las respuestas hasta ahora dan una buena respuesta a la pregunta, pero solo agregan un punto general:

Cuando un sistema se describe axiomáticamente, se da un conjunto de estados posibles, además de un conjunto de reglas válidas para transformar esos estados en otros. Por lo tanto, que el conjunto de estados válidos para dos sistemas sea equivalente no significa que los sistemas sean equivalentes, ya que no dice nada sobre la equivalencia de las segundas partes de las descripciones.

Dado que su pregunta surgió en base a matemáticas discretas, y " nuestro planeta " bien puede considerarse un conjunto de elementos discretos (como los átomos) ...
... puede ser útil considerar una noción de "dimensión D" que permite distinguir espacios discretos de diferentes valores de D; por ejemplo:

si el conjunto$\mathcal{S}$de elementos discretos adecuados es un espacio métrico$(\mathcal{S}, d)$, con valores de distancia dados ("$d$") entre pares de elementos (o al menos relaciones de distancia dadas entre tres elementos distintos) entonces

1. todos los elementos de$\mathcal{S}$son directos entre sí; o al menos: cuanto más cerca están los tres elementos entre sí, más rectos son entre sí (en comparación), también.
   (Explícitamente, por ejemplo:
   para cualquier elemento$A \in \mathcal{S}$hay dos elementos$B, C \in \mathcal{S}$tal que el radio de la circuncircunferencia del triangulo$ABC$es mayor que la circunferencia del triangulo$ABC$,$\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{\sqrt{2 AB^2 \cdot AC^2 + 2 AB^2 \cdot BC^2 + 2 AC^2 \cdot BC^2 - AB^4 - AC^4 - BC^4}} \gt AB + AC + BC$;
   y para otros dos elementos$X, Y \in \mathcal{S}$para el cual la circunferencia del triangulo$AXY$es menor que la circunferencia del triangulo$ABC$el radio de la circuncircunferencia del triangulo$AXY$es aún más grande en comparación,
   $\frac{AX \cdot AY \cdot XY}{\sqrt{2 AX^2 \cdot AY^2 + 2 AX^2 \cdot XY^2 + 2 AY^2 \cdot XY^2 - AX^4 - AY^4 - XY^4}} / (AX + AY + XY) \gt$
   $\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{\sqrt{2 AB^2 \cdot AC^2 + 2 AB^2 \cdot BC^2 + 2 AC^2 \cdot BC^2 - AB^4 - AC^4 - BC^4}} / (AB + AC + BC)$
   .)
   Entonces el espacio métrico$(\mathcal{S}, d)$es unidimensional. Si no:

2. Todos los elementos del conjunto$\mathcal{S}$son planos entre sí; o al menos: cuanto más cerca están los cuatro elementos entre sí, más planos son entre sí (en comparación), también.
   (Esto se puede hacer explícito comparando los radios de las circunsferas de cuatro elementos cualesquiera del conjunto$\mathcal{S}$.) Entonces el espacio métrico$(\mathcal{S}, d)$es bidimensional. Si no:

3. Todos los elementos del conjunto$\mathcal{S}$son planos entre sí; o al menos: cuanto más cerca están los cinco elementos entre sí, más planos son entre sí (en comparación), también.
   (Esto se puede hacer explícito mediante comparaciones que involucren los radios de las 3 esferas de cinco elementos cualesquiera del conjunto$\mathcal{S}$.) Entonces el espacio métrico$(\mathcal{S}, d)$es tridimensional. Y así.

Según estos criterios (o estrechamente relacionados), los elementos que componen " nuestro planeta " presumiblemente constituyen un conjunto tridimensional.

coordenadas con función uno a uno y sobreyectiva de$(x,y,z)$a$(a)$

Tenga en cuenta que en la definición de "dimensión D de espacios discretos" sugerida anteriormente no se menciona ninguna coordenada. No importa si se asignan números reales a los elementos de un conjunto en particular, cuáles o cuántos.$\mathcal{S}$; todo lo que se requiere son las distancias (o al menos: relaciones de distancia) entre los elementos.

Sin embargo, una vez que se ha establecido la "dimensión D" de un conjunto, entonces se pueden distinguir diferentes asignaciones de coordenadas.

Por ejemplo: si se establece$\mathcal{S}$es unidimensional (y con dos "extremos" separados) y si se asignan números reales a los elementos del conjunto$\mathcal{S}$(un número real distinto para cada elemento distinto) entonces se puede distinguir si la asignación es monótona con respecto al orden de los elementos en$\mathcal{S}$, O no.

Esta forma de establecer distinciones se puede generalizar a conjuntos de mayor "dimensión D" si se asignan D-tuplas reales (es decir, conjuntos de D números reales) a cada elemento.