Caracterización topológica de la Continuidad

Estoy autodidacta en Real Analysis y me gustaría probar el siguiente resultado en el conjunto de ejercicios 4.4 de Stephen Abbott, Understanding Analysis. No estoy completamente seguro de la implicación inversa. Me gustaría que alguien verificara mi prueba, si es rigurosa.

[Abbott, 4.4.11] (Caracterización topológica de la continuidad) . Dejar$\displaystyle g$estar > definido en todos$\displaystyle \mathbf{R}$. Si$\displaystyle B$es un subconjunto de$\displaystyle \mathbf{R}$, define el conjunto$\displaystyle g^{-1}( B)$por

$$\begin{equation*} g^{-1}( B) =\{x\in \mathbf{R} :g( x) \in B\} \end{equation*}$$

Muestra esa$\displaystyle g$es continua si y solo si$\displaystyle g^{-1}( O)$está abierto siempre que$\displaystyle O\subseteq \mathbf{R}$es un conjunto abierto.

Prueba.

$\displaystyle \Longrightarrow$dirección.

Dejar$\displaystyle c$ser un punto arbitrario en$\displaystyle g^{-1}( O)$. Por lo tanto,$\displaystyle g( c) \in O$.

Asumir que$\displaystyle g$es continua y que el conjunto de imágenes$\displaystyle O$Esta abierto. Por definición, existe un$\displaystyle \epsilon >0$, tal que el$\displaystyle \epsilon$-vecindario,$\displaystyle V_{\epsilon }( g( c)) =( g( c) -\epsilon ,g( c) +\epsilon )$está contenido en$\displaystyle O$.

Asumimos que la función$\displaystyle g$es continuo Entonces, para todos$\displaystyle \xi >0$, existe$\displaystyle \delta >0$, tal que$\displaystyle | x-c| < \delta$ $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle | g( x) -g( c)| < \xi$.

si establecemos$\displaystyle \xi =\epsilon$arriba, estamos garantizados que, si$\displaystyle x$pertenece a algunos$\displaystyle \delta$-barrio de$\displaystyle c$,$\displaystyle V_{\delta }( c) =( c-\delta ,c+\delta )$, entonces$\displaystyle g( x) \in V_{\epsilon }( g( c))$.

De este modo,$\displaystyle g( V_{\delta }( c)) \subseteq V_{\epsilon }( g( c))$.

Desde$\displaystyle O$es abierto, debe ser la unión de conjuntos abiertos.$\displaystyle O=\bigcup _{y=g( c)} V_{\epsilon }( y)$, es decir, la unión de todos$\displaystyle \epsilon$-barrios de$\displaystyle y$, tal que$\displaystyle y=g( c)$llena$\displaystyle O$. Por lo tanto, debemos tener que$\displaystyle \bigcup V_{\delta }( c)$es la preimagen de$\displaystyle O$. Pero, eso implica la pre-imagen$\displaystyle g^{-1}( O)$es un conjunto abierto.

$\Longleftarrow$dirección. (Actualizado)

Supongamos que siempre que$\displaystyle O$es un conjunto abierto,$\displaystyle g^{-1}( O)$Esta abierto. Elija un arbitrario$\displaystyle \epsilon >0$.

Dejar$\displaystyle y\in O$ser un punto arbitrario, tal que$\displaystyle y=g( x)$.$\displaystyle O$Esta abierto$\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \exists \xi \leq \epsilon$, tal que$\displaystyle V_{\xi }( y) \subseteq O$. Considere el conjunto abierto$\displaystyle V_{\xi }( y)$. Dejar$\displaystyle U$ser la imagen previa de esto$\displaystyle \xi$-vecindario. De la suposición anterior,$\displaystyle U$Esta abierto. Desde,$\displaystyle x\in U$, podemos construir un$\displaystyle \delta$-barrio alrededor$\displaystyle x$, tal que$\displaystyle V_{\delta }( x) \subseteq U$. Como consecuencia,$\displaystyle g( V_{\delta }( x)) \subseteq V_{\xi }( y) \subseteq V_{\epsilon }( y)$.

Dejar$\displaystyle c$ser un punto fijo en la preimagen de$\displaystyle O$, entonces$\displaystyle g( c) \in O$. Desde,$\displaystyle c$está en la pre-imagen de$\displaystyle O$, que es un conjunto abierto, debe pertenecer al$\displaystyle \delta$-bola de unos$\displaystyle x$, Lo que significa que$\displaystyle g( c)$debe pertenecer a la correspondiente$\displaystyle \xi$-bola de$\displaystyle g( x)$. Así, si$\displaystyle | x-c| < \delta$, resulta que$\displaystyle | g( x) -g( c)| < \epsilon$.