Demostrar que toda subsucesión de una sucesión real convergente converge en el mismo límite.

Esta es la afirmación que quiero probar:

Dejar { a norte } norte = 1 ∞ sea ​​una secuencia de números reales que converge a un número real L . Entonces, cada subsecuencia { a norte k } k = 1 ∞ converge a L .

Intento de prueba:

Dejar ϵ > 0 ser arbitrario pero fijo. Estamos obligados a demostrar que:

∃ k ∈ norte : ∀ k ≥ k : | a norte k − L | < ϵ

Sabemos que existe un norte 0 ∈ norte tal que:

∀ norte ≥ norte 0 : | a norte − L | < ϵ

Desde { norte k } k = 1 ∞ es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, entonces:

∃ k ∈ norte : ∀ k ≥ k : norte k ≥ norte 0

⟹ ∃ k ∈ norte : ∀ k ≥ k : | a norte k − L | < ϵ

que es exactamente la afirmación de que límite k → ∞ ( a norte k ) = L . Eso prueba el resultado deseado.

¿Es correcta la demostración anterior? Si no es así, ¿por qué? ¿Cómo puedo arreglarlo?

Me parece bien
¡Muchas gracias!
Es un poco más rápido si haces uso de norte k ≥ k porque es una secuencia entera positiva estrictamente creciente.
Sí, ese es el enfoque que adopta mi libro. Leí su solución después de recibir la confirmación de que la mía era correcta. Realmente no sé cómo se supone que debo pensar en soluciones rápidas y fáciles como esa jajaja.
Aquí hay otro para probar: supongamos a norte es una secuencia tal que cada subsecuencia tiene una subsecuencia adicional que converge a L . Pruebalo a norte → L . Este es un lema técnico sorprendentemente útil.
Niceeee, voy a publicar una prueba de eso cuando lo resuelva. ¿Le echarás un vistazo a mi argumento? Esa parece una buena pregunta.

Respuestas (1)

Tu prueba es correcta. De hecho, podría usar su prueba para derivar un método para encontrar un adecuado explícito k para cada ϵ , para la subsecuencia, dado un método para la secuencia misma.

Genial, muchas gracias. Entonces, en esencia, también he derivado un algoritmo para elegir k por cada dado ϵ . Eso suena muy bien, ¿sería importante en otras cosas que veré en Análisis? Además, aceptaré tu respuesta lo antes posible. Ahora mismo no me deja hacerlo.
Creo que podría importar si estuviera interesado en las velocidades de convergencia. Pero no estoy seguro de que eso suceda tan a menudo con las subsecuencias.
@AbhijeetVats Pero supongo que el libro en el que encontró su ejercicio trata sobre hechos más generales en topología y análisis. Por lo tanto, es probable que aún no tenga que preocuparse por las velocidades de convergencia.
Sí, análisis matemático de Bernd Schroder. No estoy seguro de si se trata de esas cosas porque no estoy demasiado lejos. Veré si puedo leer un poco más sobre lo que has mencionado. Cuando dices "velocidades de convergencia", supongo que te refieres a qué tan rápido está convergiendo algo. Por ejemplo, si sabemos que algo converge, ¿también es útil saber qué tan rápido converge en relación con otra cosa?
@AbhijeetVats Sí, eso es lo que quiero decir.
Demostrar que toda subsucesión de una sucesión real convergente converge en el mismo límite.
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