Prueba de que el volumen de un tetraedro viene dado por un determinante 4×44×44\times 4

Question

Prueba de que el volumen de un tetraedro viene dado por un determinante 4×44×44\times 4

volumen
vectores
geometría
determinante
Matemáticas

wiz_13

He visto que el volumen de un tetraedro $ABCD$ dónde

A = (X_{1}, y_{1}, z_{1}), B = (X_{2}, y_{2}, z_{2}), C = (X_{3}, y_{3}, z_{3}), D = (X_{4}, y_{4}, z_{4})

$A = (x_1,y_1,z_1), B = (x_2,y_2,z_2), C = (x_3,y_3,z_3), D = (x_4,y_4,z_4)$ y

A

$A$ ser la parte superior se puede describir como

V = \frac{1}{6} | det METRO | dónde METRO = [\begin{matrix} X_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ X_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ X_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \\ X_{4} & y_{4} & z_{4} & 1 \end{matrix}]

$V = \dfrac{1}{6}|\det M| \qquad\text{where}\qquad M = \begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\\\end{bmatrix}$ pero no puedo encontrar la prueba en ninguna parte. ¿Cómo es cierto lo siguiente?

\vec{B C} \cdot (\vec{B D} \times \vec{B A}) = det METRO

$\vec{BC}\cdot(\vec{BD} \times \vec{BA})=\det M$

Cualquier tipo de explicación es bienvenida.

Respuestas (2)

Prueba de que el volumen de un tetraedro viene dado por un determinante 4×44×44\times 4

Parcly Taxel · Answer 1

Traduce todos los puntos para que $B$ está en el origen; $A,C,D$ ahora representan vectores de posición relativos a $B$ y el determinante no cambia. Por expansión de cofactores, $\det M$ es

| \begin{matrix} X_{1}^{'} & y_{1}^{'} & z_{1}^{'} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ X_{3}^{'} & y_{3}^{'} & z_{3}^{'} & 1 \\ X_{4}^{'} & y_{4}^{'} & z_{4}^{'} & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} X_{1}^{'} & y_{1}^{'} & z_{1}^{'} \\ X_{3}^{'} & y_{3}^{'} & z_{3}^{'} \\ X_{4}^{'} & y_{4}^{'} & z_{4}^{'} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix}x_1'&y_1'&z_1'&1\\0&0&0&1\\x_3'&y_3'&z_3'&1\\x_4'&y_4'&z_4'&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_1'&y_1'&z_1'\\x_3'&y_3'&z_3'\\x_4'&y_4'&z_4'\end{vmatrix}$ este mas pequeño

3 \times 3

$3×3$ El determinante se puede calcular usando el producto triple dado, lo que prueba la última ecuación

\vec{B C} \cdot (\vec{B D} \times \vec{B A}) = det M

$\vec{BC}\cdot(\vec{BD} \times \vec{BA})=\det M$ .

Hussain-Alqatari · Answer 2

Pista,

Considerar $A(x_1,y_1,z_1)$ como la base del tetraedro, y observe que su volumen = el volumen de la pirámide con esa base.

Eso es, $V=\frac{1}{3}$ Area de $A \times$ la altura.

Prueba de que el volumen de un tetraedro viene dado por un determinante 4×44×44\times 4

wiz_13

Respuestas (2)

Parcly Taxel

Hussain-Alqatari

El volumen de un paralelepípedo p2p2p_2 atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo p1p1p_1 es el doble del volumen de p1p1p_1.

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