Comprender la segunda condición en el teorema de Fritz John

Question

Comprender la segunda condición en el teorema de Fritz John

volumen
geometría
elipsoides
Matemáticas
mejoramiento
geometría convexa

esotérico-elíptico

Teorema de Fritz John: Cada cuerpo convexo $K$ contiene un elipsoide único de volumen máximo. Este elipsoide es $B^n_2$ si y si: $B^n_2 \subset K$ y (para algunos $m$ ), hay vectores unitarios euclidianos $(u_i)_1^m$ en el límite de $K$ y numeros positivos $(c_i)_1^m$ satisfactorio
$\sum_{i = 1}^{metro} C_{i} {tu}_{i} = 0$ $\begin{equation} \sum_{i=1}^m c_i u_i = 0 \end{equation}$ y $\sum_{i = 1}^{metro} C_{i} ⟨ X, {tu}_{i} ⟩^{2} = ‖ X ‖^{2} para cada X \in R^{norte}$ $\begin{equation} \sum_{i=1}^m c_i \langle x,u_i\rangle^2 = \|x\|^2 \text{ for each }x\in\mathbb{R}^n \end{equation}$

Este es un extracto de las notas de Keith Ball . Continúa diciendo que la segunda condición (que implica $\|x\|^2$ ) es equivalente a

X = \sum C_{i} ⟨ X, {tu}_{i} ⟩ {tu}_{i}

$x = \sum c_i\langle x,u_i\rangle u_i$ para todos

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$ . Esto se ve fácilmente, así que me salté la prueba.

"...El $(u_i)$ comportarse más bien como una base ortonormal en la que podemos resolver la norma euclidiana como una suma ponderada de cuadrados de productos internos..."

Creo que esto se debe a que para dos vectores $x,y$ podemos escribir

⟨ X, y ⟩ = \sum_{i} C_{i} ⟨ X, {tu}_{i} ⟩ ⟨ y, {tu}_{i} ⟩

$\langle x,y\rangle = \sum_i c_i\langle x,u_i\rangle \langle y,u_i\rangle$

“Esto garantiza que el $(u_i)$ no todos se encuentran cerca de un subespacio propio de $\mathbb{R}^n$ . Si lo hicieran, podríamos encoger un poco la pelota en este subespacio y expandirla en una dirección ortogonal, para obtener un elipsoide más grande dentro $K$ ."

¿Qué significa estar cerca de un subespacio propio de $\mathbb{R}^n$ ?

Gracias por leer, agradecería cualquier ayuda! Espero entender mejor este teorema y sus consecuencias.

Editar:
Más adelante en las notas, el autor dice que interprete la segunda condición como una condición de rigidez :

Uno puede entender un poco más la segunda condición en el Teorema de John al interpretarlo como una condición de rigidez. Una secuencia de vectores unitarios $(u_i)$ satisfaciendo la condición (para alguna secuencia $(c_i)$ tiene la propiedad de que si $T$ es un mapa lineal de determinante $1$ , no todas las imágenes $Tu_i$ puede tener norma euclidiana menor que $1$ .

¿Cómo probamos esto? No puedo llegar a una prueba por contradicción (como sigue). Asumir $\|Tu_i\| < 1$ para todos $1\le i\le m$ . Ahora estoy tratando de poner $x = u_i$ en la segunda condición pero aún no he obtenido nada fructífero. ¡Gracias!

Actualización: intenté poner $x = Tu_j$ en condicion $2$ y obtuve algo redundante. Si está interesado, puede leer a continuación:

‖ T {tu}_{j} ‖^{2} = \sum_{i} C_{i} ⟨ T {tu}_{j}, {tu}_{i} ⟩^{2} \leq \sum_{i} C_{i} ‖ T {tu}_{j} ‖^{2} ⟹ ‖ T {tu}_{j} ‖^{2} (1 - \sum_{i} C_{i}) \leq 0

$\|Tu_j\|^2 = \sum_i c_i \langle Tu_j,u_i\rangle^2 \le \sum_i c_i \|Tu_j\|^2 \implies \|Tu_j\|^2 (1 - \sum_i c_i) \le 0$ lo cual no es nada nuevo pues ya tenemos

\sum_{i} c_{i} = n

$\sum_i c_i = n$ . nada especial sobre

T u_{j}

$Tu_j$ aquí, habríamos obtenido esto de cualquier

x

$x$ .

Actualización 2: estoy tratando de usar la desigualdad de Hadamard pero aún no he llegado a ninguna parte. La recompensa está a punto de terminar y espero que alguien le dé una oportunidad.

Respuestas (2)

Comprender la segunda condición en el teorema de Fritz John

orrick · Answer 1

Escribir $\|x\|^2=\sum_i c_i\langle x,u_i\rangle^2$ en forma matricial como

X^{'} X = \sum_{i} C_{i} X^{'} {tu}_{i} {tu}_{i}^{'} X,

$x'x=\sum_i c_i x'u_iu'_ix,$ donde la prima indica transposición. Colocar

x^{'} = t_{j}^{'}

$x'=t'_j$ , el

j^{th}

$j^\text{th}$ fila de

T

$T$ . Entonces

t_{j}^{'} t_{j} = \sum_{i} C_{i} t_{j}^{'} {tu}_{i} {tu}_{i}^{'} t_{j} .

$t_j't_j=\sum_i c_i t'_ju_iu'_it_j.$ sumando

t_{j}^{'} u_{i} u_{i}^{'} t_{j}

$t'_ju_iu'_it_j$ encima

j

$j$ da

‖ T u_{i} ‖^{2}

$\|Tu_i\|^2$ . Por lo tanto

\sum_{j} ‖ t_{j} ‖^{2} = \sum_{i} C_{i} ‖ T {tu}_{i} ‖^{2} .

$\sum_j\|t_j\|^2=\sum_ic_i\|Tu_i\|^2.$ Ahora

\sum_{j} ‖ t_{j} ‖^{2} \geq n

$\sum_j\|t_j\|^2\ge n$ cuando

det T = 1

$\det T=1$ , mientras

\sum_{i} c_{i} = n

$\sum_i c_i=n$ y todo

c_{i}

$c_i$ son positivos. Esto da una contradicción si todos

‖ T u_{i} ‖

$\|Tu_i\|$ son menos que

1

$1$ . Tenga en cuenta que la suma sobre

‖ t_{j} ‖^{2}

$\|t_j\|^2$ es el cuadrado de la norma de Hilbert-Schmidt o Frobenius de

T

$T$ .

Deberíamos explicar de dónde vienen las propiedades que acabamos de invocar. Eso $\sum_j\|t_j\|^2\ge n$ para $\det T=1$ debe ser intuitivamente claro: $\det T$ es el volumen de un $n$ -paralelepípedo dimensional. Para longitudes de lado dadas del paralelepípedo, el volumen se maximiza cuando todos los lados son ortogonales, mientras que la suma de los cuadrados de las longitudes de lado de un $n$ -El prisma rectangular dimensional de volumen fijo se minimiza cuando todos los lados son iguales (como puede demostrarse, por ejemplo, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange). Entonces, para la unidad de volumen, el paralelepípedo que minimiza la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados es la unidad cúbica, para lo cual $\sum_j\|t_j\|^2=n$ .

Que el $c_i$ son positivos es una de las condiciones dadas. La condición $\sum_i c_i=n$ se puede obtener dejando $x$ en la segunda condición igual a cada uno de los vectores base estándar de $\mathbf{R}^n$ a su vez, y sumando:

norte = \sum_{j} {mi}_{j}^{'} {mi}_{j} = \sum_{j} \sum_{i} C_{i} {mi}_{j}^{'} {tu}_{i} {tu}_{i}^{'} {mi}_{j} = \sum_{i} C_{i} ‖ {tu}_{i} ‖^{2} = \sum_{i} C_{i} .

$n=\sum_j e'_j e_j=\sum_j\sum_ic_ie'_ju_iu'_ie_j=\sum_ic_i\|u_i\|^2=\sum_ic_i.$

Desafortunadamente, no estoy seguro de poder decir mucho sobre su pregunta original (sobre el significado de "cerca de un subespacio adecuado"). Creo que vale la pena elaborar una variedad de ejemplos detallados, incluso en dimensión $2$ . Para un rombo, que es lo que muestra la Figura 14 en el artículo de Ball, la condición falla, a menos que el rombo sea un cuadrado. Creo que lo mismo es cierto para los rectángulos y los paralelogramos en general. Podría, por ejemplo, dejar que los cuatro puntos en la Figura 14 donde el círculo inscrito toca el rombo sean $\left(\pm\frac{5}{13},\pm\frac{12}{13}\right)$ . Luego elige algunos puntos al azar para $x$ -los puntos $(1,0)$ y $(0,1)$ va a hacer— y tratar de resolver para el $c_i$ . Obtendrá una apreciación de por qué no hay solución.

Entonces, si los paralelogramos no funcionan (a excepción de los cuadrados), pruebe con los hexágonos. Puede cortar las dos esquinas de la Figura 14 en el eje horizontal agregando segmentos de línea vertical tangentes al círculo en $(-1,0)$ y $(1,0)$ para formar un hexágono. Ahora resuelve el sistema de ecuaciones modificado. Lo que permite esta solución en este caso es la suma de los dos vectores $(-1,0)$ y $(1,0)$ , que, a diferencia de los otros cuatro vectores, no están cerca del subespacio a lo largo del eje vertical. Ahora bien, si los dos lados verticales se movieran un poco hacia afuera, de modo que el círculo ya no fuera tangente a esos lados, estaríamos de vuelta en una situación similar al rombo.

para el beneficio de OP -- "Para longitudes de lado dadas del paralelepípedo, el volumen se maximiza cuando todos los lados son ortogonales" -- esta es la Desigualdad de Hadamard

enojadoaviano · Answer 2

podemos resolver la norma euclidiana como una suma ponderada de cuadrados de productos internos

Creo que esta es literalmente la segunda condición en el teorema: $c_i$ son los pesos, los $\langle x, u_i\rangle^2$ los términos son los cuadrados de los productos internos. Esto es por analogía con la norma euclidiana habitual. $\|x\|^2 = \sum_i \langle x, e_i \rangle^2$ para alguna base ortonormal $\{e_i\}$ .

$(u_i)$ no todos se encuentran cerca de un subespacio propio de $\mathbb{R}^n$ .

El texto apunta a la Figura 14, que tiene una imagen de un elipsoide (círculo sólido) en $\mathbb{R}^2$ cuyos puntos de contacto (el $u_i$ ) se encuentran cerca de una línea vertical (un subespacio propio unidimensional de $\mathbb{R}^2$ ). Al "aplastar" este elipsoide verticalmente (a lo largo del subespacio) y alargándolo horizontalmente (la dirección ortogonal) obtenemos un elipsoide más grande (elipsoide discontinuo en la figura).

Tiene sentido con la imagen, pero ¿qué significa estar cerca de un subespacio en términos matemáticos abstractos? No puedo entender esto sin la imagen.
@strawberry-sunshine Disculpas, pasé un tiempo tratando de probarlo antes, pero no tuve éxito.
Alguien en MathSE sugirió la desigualdad de Hadamard. También estoy tratando de usar eso para llegar a una prueba. ¡Quizás tú también puedas darle una oportunidad!

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