Estoy tratando de entender por qué el volumen de un paralelepípedo cuyos lados son es .
Incluso las unidades de medida no suman. La longitud de los vectores se mide en centímetros, el volumen se mide en cm cúbicos.
es un vector Es un vector ortogonal a y , pero sigue siendo un vector, por lo que su longitud se mide nuevamente en cms. así que en general significa que es igual al producto de vectores, por lo que la unidad de medida para es centímetros cuadrados, no en cubos.
Estoy luchando por entender cómo puede ser igual al área de un paralelogramo. Eso equivale a decir "El tiempo que me toma resolver un problema es la distancia entre Nueva York y Londres".
La norma del vector se define como el área del paralelogramo (desplácese hacia abajo hasta Definición geométrica en El producto cruzado si hace clic en ese enlace) con lados y . Asimismo, como ambos y tienen unidades de cm, su producto tendrá unidades de cm - independientemente del hecho de que es un vector Los vectores no tienen que tener unidades de longitud, pueden tener las unidades que queramos.
Así que si es el área de un paralelogramo, entonces el área del paralelepípedo será simplemente esta área por la altura del paralelepípedo ("bases por altura" es la fórmula que usamos aquí). Entonces porque es la altura del paralelepípedo (haz un dibujo para confirmarlo por ti mismo), el volumen será simplemente . Pero eso es solo el producto escalar de y .
Creo que la aparente paradoja en esta pregunta se deriva de la creencia errónea de que un vector tiene unidades de longitud asociadas. Esto es incorrecto. En el espacio tridimensional, el vector podría pensarse que tiene unidades de triples ordenados de centímetros (no lo mismo que centímetros cúbicos). También podríamos tener las coordenadas en centímetros, segundos, litros, pero sigue siendo un triple ordenado.
Ahora, la longitud de un vector de hecho está en centímetros, porque cada uno de está en centímetros, por lo que cuando se eleva al cuadrado está en centímetros cuadrados, y luego se aplica la raíz cuadrada a la suma, lo que nos lleva de vuelta a los centímetros.
Si las unidades fueran centímetros, segundos, litros, entonces la longitud del vector ya no tiene unidades significativas.
El producto vectorial tiene dimensiones de área. . Solo porque es un vector, no siempre tiene que ser una línea recta. Decimos que un área es cantidad dirigida. Un área o incluso un volumen puede ser un vector.
¿Cómo aceptamos ángulos, velocidades angulares, aceleraciones angulares como vectores? ¿Fuerzas como vectores? ¿Corriente y voltaje como vectores? Cada uno tiene una magnitud física y una dirección.
El producto triple es escalar sin dirección.
Las dimensiones del volumen de un paralelepípedo son 2+1 = 3.
michael hoppe