Pregunta vectorial a nivel escolar para encontrar proporciones de longitud en un triángulo

Question

Pregunta vectorial a nivel escolar para encontrar proporciones de longitud en un triángulo

relación
vectores
geometría
triangulos
Matemáticas

eric

https://revisionmaths.com/sites/mathsrevision.net/files/imce/Questionpaper-Paper1H-November2018.pdf

$OAB$ es un triangulo $OPM$ y $APN$ son lineas rectas. $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ está en el segmento $OB$ .

$\vec{O A} = a, \vec{O B} = b, O PAG : PAG METRO = 3 : 2$ $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}, \overrightarrow{OB} = \mathbf {b}, OP : PM = 3 : 2$

Calcula la proporción $ON:NB$

(Adjunto el enlace con la pregunta ya que es geométrica, y todavía no tengo permitido publicar imágenes).

He estado tratando de resolver la pregunta 21 en este documento anterior por un tiempo, pero, para mi sorpresa, sigo encontrando el mismo problema.

Las etapas iniciales son sencillas: encontrar las longitudes $AM$ , $MB$ , $AP$ , $OP$ y $PM$ . Sin embargo, el último salto necesario para encontrar la razón $ON:NB$ me evade Introduzco un escalar $k$ tal que $\overrightarrow{ON} = k\mathbf{b}$ y luego tratar de resolverlo de esa manera (como sugiere el esquema de marcas). También he intentado introducir otro escalar $q$ tal que $\overrightarrow{AN} = q\overrightarrow{AP}$ buscando un par de ecuaciones simultáneas para resolver, pero al final los valores exactos que busco siempre se cancelan y termino con $0 = 0$ .

Debo estar perdiendo algo muy obvio. ¿Cómo resuelves esta pregunta usando el escalar?

PD: el esquema de calificación para esta pregunta no ofrece una explicación adecuada de la solución más allá de lo obvio: https://revisionmaths.com/sites/mathsrevision.net/files/imce/Markscheme-Paper1H-November2018.pdf

amante de las matemáticas

Acabo de agregar el texto de la pregunta del enlace. El enlace puede dejar de funcionar más adelante, por lo que debe escribir la pregunta.

Respuestas (3)

Pregunta vectorial a nivel escolar para encontrar proporciones de longitud en un triángulo

Acabo de agregar el texto de la pregunta del enlace. El enlace puede dejar de funcionar más adelante, por lo que debe escribir la pregunta.

usuario10354138 · Answer 1

Michael te mostró una solución alternativa a la más geométrica (produciendo el paralelogramo $OACB$ y triángulos semejantes $ACP$ , $NOP$ ) en el esquema de marcas. Pero para el enfoque vectorial, sabemos

\begin{aligned} \vec{O METRO} & = \frac{1}{2} (a + b) \\ \vec{O PAG} & = \frac{3}{5} \vec{O METRO} = \frac{3}{10} (a + b) \\ \vec{A PAG} & = \frac{3}{10} b - \frac{7}{10} a \\ \vec{O norte} & = k b \\ \vec{A norte} & = - a + k b \end{aligned}

$\begin{align*} \overrightarrow{OM}&=\frac12(\mathbf{a}+\mathbf{b})\\ \overrightarrow{OP}&=\frac35\overrightarrow{OM}=\frac3{10}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\\ \overrightarrow{AP}&=\frac3{10}\mathbf{b}-\frac7{10}\mathbf{a}\\ \overrightarrow{ON}&=k\,\mathbf{b}\\ \overrightarrow{AN}&=-\mathbf{a}+k\,\mathbf{b} \end{align*}$ Pero

\vec{A P}

$\overrightarrow{AP}$ y

\vec{A N}

$\overrightarrow{AN}$ son paralelos, por lo que las razones de coeficiente de

b

$\mathbf{b}$ al coeficiente de

a

$\mathbf{a}$ debe ser lo mismo:

\frac{k}{- 1} = \frac{3 / 10}{- 7 / 10}

$\frac{k}{-1}=\frac{3/10}{-7/10}$ entonces

k = 3 / 7

$k=3/7$ y

O N : N B = 3 : 4

$ON:NB=3:4$ .

amante de las matemáticas · Answer 2

Si está resolviendo usando vectores,

Decir, $\vec {ON} = k \textbf{b}$

$\displaystyle \vec {OP} = \frac{3}{5} \vec OM = \frac{3 (\textbf{a} + \textbf{b})}{10}$

$\displaystyle \vec {AP} = \vec {OP} - \vec {OA} = \frac{- 7 \textbf{a} + 3 \textbf{b}}{10}$

$\vec {AN} = \vec {ON} - \vec {OA} = - \textbf {a} + k \textbf{b}$

No fue $A, P, N$ son colineales, debemos tener

$\vec {AP} \times \vec {AN} = 0$

$(- 7 \textbf{a} + 3 \textbf{b}) \times ( - \textbf {a} + k \textbf {b}) = 0$

Eso lleva a, $k = \cfrac{3}{7}$

Entonces, $ON:NB = 3:4$

miguel rozenberg · Answer 3

Dejar $K$ ser un punto medio de $NB$ .

De este modo, $MK||AN$ y $ON:NK=OP:PM=3:2$ , que dice $ON:NB=3:4.$

Pregunta vectorial a nivel escolar para encontrar proporciones de longitud en un triángulo

eric

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usuario10354138

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miguel rozenberg

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