Visualización geométrica para volumen de paralelepípedo

Question

Visualización geométrica para volumen de paralelepípedo

volumen
vectores
determinante
Matemáticas
álgebra lineal

jp_

Volumen de paralelepípedo definido por vectores

\begin{aligned} [\begin{matrix} a \\ b \\ C \end{matrix}] & , [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}], [\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}] = det (\begin{matrix} [\begin{matrix} a & v_{1} & w_{1} \\ b & v_{2} & w_{2} \\ C & v_{3} & w_{3} \end{matrix}] \end{matrix}) \\ = a (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) + b (v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}) + C (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}) \\ = a (Área de paralelogramo obtenida al proyectar un paralelepípedo sobre el y z avión) \\ + b (Área de paralelogramo obtenida al proyectar un paralelepípedo sobre el z X avión) \\ + C (Área de paralelogramo obtenida al proyectar un paralelepípedo sobre el X y avión) \end{aligned}

$\begin{align} \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}&,\quad \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix} = \det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}a&v_1&w_1\\b&v_2&w_2\\c&v_3&w_3\end{bmatrix}\end{pmatrix}\\ &= a(v_2w_3 - v_3w_2) + b(v_3w_1 - v_1w_3) + c(v_1w_2 - v_2w_1)\\ &= a(\text{Area of parallelogram obtained by projecting parallelepiped on the $yz$ plane})\\ &+b(\text{Area of parallelogram obtained by projecting parallelepiped on the $zx$ plane}) \\ &+c(\text{Area of parallelogram obtained by projecting parallelepiped on the $xy$ plane}) \end{align}$

Puedo visualizar el caso cuando cualquier componente de vectores $v$ y $w$ son $0$ . supongamos que $z$ el componente es $0$ . Entonces no se formaría ningún paralelogramo en el $yz$ y $zx$ avión. Así que el volumen sería simplemente

= C (Área de paralelogramo obtenida al proyectar un paralelepípedo sobre el X y avión)

$=c(\text{Area of parallelogram obtained by projecting parallelepiped on the $xy$ plane})$ que es bastante simple de visualizar. Pero, tengo problemas para visualizar cuando los tres componentes de

v

$v$ y

w

$w$ son distintos de cero. ¿Alguien puede ayudar?

dxiv

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Respuestas (2)

Visualización geométrica para volumen de paralelepípedo

Mateo Leingang · Answer 1

No estoy seguro de que haya una forma intuitiva de visualizar un cálculo de volumen como una combinación lineal de áreas, excepto en el caso de que ya lo haya hecho. es solo el

Volumen = área de la base \cdot altura

$\text{Volume} = \text{Area of base}\cdot \text{height}$ fórmula de la geometría de la escuela secundaria.

Pero le animo a ir en la otra dirección, e inducir de este caso al más general. Hay una rotación del espacio que trae $v$ y $w$ en el $xy$ -avión. Esta rotación conserva determinantes. Así que la fórmula del volumen tiene que ser la misma.

Intuitivamente, el volumen es un poco más intrínseco al espacio que los ejes o coordenadas que instalamos para describir el espacio. Entonces podemos elegir nuestras coordenadas/ejes para que la visualización sea conveniente.

artha · Answer 2

Primero considere el caso de un paralelepípedo. Los tres bordes son ortogonales entre sí. Vamos a representar estos bordes como columnas de una matriz. $A$ .

Ahora $A^T$ tendremos las filas como estas aristas y multiplicando ambas obtenemos,

A^{T} A = [\begin{matrix} {mi}_{1} \\ {mi}_{2} \\ {mi}_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} {mi}_{1} & {mi}_{2} & {mi}_{3} \end{matrix}]

$A^TA = \begin{bmatrix}e_1\\e_2\\e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_1&e_2&e_3\end{bmatrix}$ dónde

e_{i}

$e_i$ son vectores de borde con longitudes

l_{i}

$l_i$ es decir

‖ e_{i}^{T} e_{i} ‖ = l_{i}^{2}

$\Vert e_i^Te_i \Vert = l_i^2$

Esto da

A^{T} A = [\begin{matrix} {yo}_{1}^{2} & 0 \\ ⋱ \\ 0 & {yo}_{3}^{2} \end{matrix}]

$A^TA = \begin{bmatrix}l_1^2&&0 \\& \ddots &\\0&&l_3^2\end{bmatrix}$

Ahora $det(A^TA)$ es producto de elementos diagonales por una matriz diagonal y obtenemos $det(A) = l_1^2l_2^2l_3^2$

Pero sabemos que el volumen del cuboide es $l_1l_2l_3$ y $det(A^T) = det(A)$ . Entonces obtenemos

d mi t (A^{T} A) = d mi t (A)^{2} = ({yo}_{1} {yo}_{2} {yo}_{3})^{2}

$det(A^TA) = det(A)^2 = (l_1l_2l_3)^2$ Entonces, volumen de un paralelepípedo =

d e t (A)

$det(A)$ .

Ahora bien, si los bordes no son ortogonales entre sí, obtenemos un paralelepípedo.

d mi t (A) = | \begin{matrix} {mi}_{1} \\ {mi}_{2} \\ {mi}_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} {mi}_{1} \\ {mi}_{2} - q_{2} \\ {mi}_{3} - q_{3} \end{matrix} |

$det(A) = \begin{vmatrix}e_1\\e_2\\e_3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}e_1\\e_2-q_2\\e_3-q_3\end{vmatrix}$

dónde $q_i$ son los vectores de proyección sobre los bordes, de modo que $e_i-q_i$ se hace perpendicular al borde $e_{i-1}$ . Ahora estos nuevos vectores se hacen ortogonales entre sí conservando el valor del determinante, lo que da el determinante de la matriz de aristas da el volumen del paralelepípedo y se puede extender a cualquier número de dimensiones.

Visualización geométrica para volumen de paralelepípedo

jp_

dxiv

Respuestas (2)

Mateo Leingang

artha

Muy simple - Volumen de Paralelepípedo

Prueba de que el volumen de un tetraedro viene dado por un determinante 4×44×44\times 4

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Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3